高考数学研究数列的综合应用1/7
2015一轮复习经典——（106）
数列的综合应用
1.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，
则S4＝________.
2.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝
________.
3.若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2013，则a2011
＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为________.
4.已知数列{an}满足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则{an}的前n项和Sn＝________.
5.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四
个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则
第50个括号内各数之和为________.
6.在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；
(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.
7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N).
(1)求Sn；
(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；
若不存在，说明理由.
8.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项
和为Sn，点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝3a
nan＋1
，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn
数m.
高考数学研究数列的综合应用2/7
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图
象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Q＝{x|x＝kn，n∈N}，R＝{x|x＝2an，n∈N}，等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R，其
中c1是Q∩R中的最小数，110
10.已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N)；数列{bn}
中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N).
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N)，试确定λ的值，使得对任意n∈N，
都有cn＋1>cn成立.
11.(2013·天津)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，且－2S2，S3,4S4成等差
数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋1S
n
≤136(n∈N).
1.答案－20
解析记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1，
依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0.
即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，
又q≠1，因此有q＝－3，S4＝1×[1－?－3?
4]
1＋3＝－20.
高考数学研究数列的综合应用3/7
2.答案10
解析等比数列{an}中，a5a6＝a4a7，
又因为a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9，
log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10.
3.答案2013·1010
解析由条件知lgan＋1－lgan＝lgan＋1a
n
＝1，即an＋1a
n
＝10，所以{an}为公比是10的等比数列.
因为(a2001＋…＋a2010)·q10＝a2011＋…＋a2020，所以a2011＋…＋a2020＝2013·1010.
4.答案2n＋1－2－n
解析∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1－2
n
1－2＝2
n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2×?1－2
n?
1－2－n＝2
n＋1－2－n.
5.答案392
解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括
号，即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个
数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，
即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197
＝392.故填392.
6.思维启迪(1)设出数列{an}的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解；
(2)由(1)写出bn的表达式，利用定义法证明；
(3)写出Tn的表达式，考虑用错位相减法求解.
(1)解由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程组
??
??
?a1＋9d＝30
a1＋19d＝50，解得???
??a1＝12
d＝2.
所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.
(2)证明由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，
所以bn＋1b
n
＝4
n＋1
4n＝4.
所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列.
(3)解由nbn＝n×4n，得
Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，①
4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，②
高考数学研究数列的综合应用4/7
①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1
＝4?1－4
n?
－3－n×4
n＋1.
所以Tn＝?3n－1?×4
n＋1＋4
9.
7.思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列.
(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a>0，
a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q>0)的正项等比
数列，则{logabn}(a>0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq.
解(1)因为Sn＝Sn－1＋2n，
所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N成立.
即an＝2n对n≥2，n∈N成立，
又a1＝S1＝2×1，所以an＝2n对n∈N成立.
所以an＋1－an＝2对n∈N成立，
所以{an}是等差数列，
所以有Sn＝a1＋an2·n＝n2＋n，n∈N.
(2)存在.
由(1)知，an＝2n对n∈N成立，
所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2，
所以有b1＝2，b2＝6，b3＝18，则b2b
1
＝b3b
2
＝3，
所以存在以b1＝2为首项，以3为公比的等比数列{bn}，
其通项公式为bn＝2·3n－1.
8.思维启迪(1)先求出函数f(x)，再利用n，Sn的关系求an.(2)可以利用裂项相消法求出Tn.
通过Tn的取值范围确定最小正整数m.
解(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，
所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N)均在函数y＝f(x)的图象上，
所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，
所以an＝6n－5(n∈N).
高考数学研究数列的综合应用5/7
(2)由(1)得bn＝3a
nan＋1
＝3?6n－5?[6?n＋1?－5]
＝12·????16n－5－16n＋1，
故Tn＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n－5－16n＋1)]＝12(1－16n＋1).
因此，要使12(1－16n＋1)
所以满足要求的最小正整数为10.
9.思维升华数列与函数的综合一般体现在两个方面：
(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.
解(1)∵点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，
∴Sn＝n2＋2n(n∈N).
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.
(2)对f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2.
∵过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，∴kn＝2n＋2，
∴Q＝{x|x＝2n＋2，n∈N}，
R＝{x|x＝4n＋2，n∈N}.
∴Q∩R＝R.
又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，∴c1＝6，
∵{cn}的公差是4的倍数，∴c10＝4m＋6(m∈N).
又∵110
??
??
?110<4m＋6<115
m∈N，
解得m＝27，所以c10＝114，
设等差数列的公差为d，则d＝c10－c110－1＝114－69＝12，
∴cn＝6＋(n－1)×12＝12n－6，
所以{cn}的通项公式为cn＝12n－6.
10.思维启迪(1)先求an，再构造等比数列求bn；(2)不等式cn＋1>cn恒成立，可以转化为求
函数的最值问题.
解(1)由已知，得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，
所以an＋2－an＋1＝1(n≥1).
高考数学研究数列的综合应用6/7
又a2－a1＝1，
所以数列{an}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列.
所以an＝n＋1.
又bn＋1＋2＝4(bn＋2)，
所以{bn＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列.
所以bn＝4n－2.
(2)因为an＝n＋1，bn＝4n－2，
所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1>cn恒成立，
需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，
即3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立.
所以(－1)n－1λ<2n－1恒成立.
①当n为奇数时，即λ<2n－1恒成立，
当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；
②当n为偶数时，即λ>－2n－1恒成立，
当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2.
所以λ>－2，结合①②可知－2<λ<1.
又λ为非零整数，则λ＝－1.
故存在λ＝－1，使得对任意n∈N，都有cn＋1>cn成立.
11.思维升华数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项
或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.
(1)解设等比数列{an}的公比为q，
因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝a4a
3
＝－12.
又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为
an＝32×????－12n－1＝(－1)n－1·32n.
(2)证明由(1)知，Sn＝1－????－12n，
Sn＋1S
n
＝1－????－12n＋1
1－????－12n
高考数学研究数列的综合应用7/7
＝
?
?
?2＋12n?2n＋1?，n为奇数，
2＋12n?2n－1?，n为偶数.
当n为奇数时，Sn＋1S
n
随n的增大而减小，
所以Sn＋1S
n
≤S1＋1S
1
＝136.
当n为偶数时，Sn＋1S
n
随n的增大而减小，
所以Sn＋1S
n
≤S2＋1S
2
＝2512.
故对于n∈N，有Sn＋1S
n
≤136.
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