高考数学研究立体几何公理1/3
立体几何——（2）
高端视野:公理
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这
个平面内。
符号语言：,,,AlBlABl?????????
作用：①用来验证直线在平面内；
②用来说明平面是无限延展的。
公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公
共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共
点的公共直线）
符号语言：PlPl????????且
作用：①用来证明两个平面是相交关系；
②用来证明多点共线，多线共点。
公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,ABCABC?不共线确定一个平面
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：AaAaa??????有且只有一个平面，使，
【证明】因为在直线上的任意两点，同在这条直线外的一点，组成了不在一条直线上的三点，
根据公理3，过这三点可以作一个平面，并且只可以作一个平面。又因为这直线上有两点在
这个平面内，所以根据公理1，这平面是过这直线的。因此，这平面是过着直线和直线外的
这一点的唯一的平面。
【点评】我们最后很多压轴题都是看似很显然的结论，需要我们去证明，我们却不知道从哪
里下手说，那就一起来练习证明立体几何的推理和定理吧！推论1从两方面考虑，一是能作
且只能做一个平面，二是确定平面都过这条直线。两方面证明才能完整。
高考数学研究立体几何公理2/3
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：abPab????????有且只有一个平面，使，
【证明】因为这两条直线的交点，同每条直线上交点以外的任意一点，组成了不在一条直线
上的三点。根据公理3，过这三点可以作一个平面，并且只可以作一个平面。又因为这两条
直线各有两点在这平面内。所以根据公理1，这平面是过这两条直线的。因此，这平面是过
这两条相交直线的唯一的平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//abab??????有且只有一个平面，使，
公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
【证明】因为根据平行直线的定义，两条平行直线必在同一平面内，所以过这两条平行直线
可以作一个平面。又根据推论1，过这两条直线中的一条和另一条上的任意一点只可以作一
个平面，所以过这两条平行直线的平面只有一个。
【练1】（昌平2013期末）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，
可得这个几何体的全面积为B
A.104342??
B．102342??
C.142342??
D.144342??
【练2】（石景山2012一模）设nm,是两条不同的直线，???,,是三个不同的平面，下列
命题正确的是（）
A．??//,//,//nmnm则若B．??????//,,则若??
C．nmnm//,//,//则若??D．nmnm??则若,//,??
【练3】（石景山2012一模）如图，已知平面l???，A、B是l上的两个
点，C、D在平面?内，且,,DACB????
4AD?，6,8ABBC??，在平面?上有一个
动点P，使得APDBPC???，则PABCD?体积
的最大值是（）
A．243B．16C．48D．144
?
?
A
C
B
D
P
高考数学研究立体几何公理3/3
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