高考数学研究轨迹问题1/5
立体几何——（15）
高端视野:轨迹问题
以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受
命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这
些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得
其解。以空间图形为依托的轨迹问题，要善于利用空间图形的位置关系来转化，把空间问题
转化为平面问题，再利用平几或解几知识实现问题的突破，从而使问题迎刃而解。
一判断轨迹的类型问题
这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲
线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。
【例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距
离相等，则动点P所在曲线的形状为（）。
A.线段
B.一段椭圆弧
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
【解析】简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1?面
AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的
一段，从而选D。
引申1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线
B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（）。
A.线段
B.一段椭圆弧
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
引申2在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线
B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（）。
A.线段
B.一段椭圆弧
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，
若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（）。
A.圆或圆的一部分
B.抛物线或其一部分
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C.双曲线或其一部分
D.椭圆或其一部分
【解析】AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D
所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。
【例3】已知正方体ABCDABCD?1111的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，
B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线AD11的距离与点P到点M
的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（）
A.抛物线B.双曲线
C.直线D.圆
【解析】在正方体ABCDABCD?1111中，过P作PF?AD，过F作FE?A1D1，垂足分别
为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P
到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。
点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体
中设计的轨迹问题，更是别具一格。
【例4】在正方体ABCDABCD?1111中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有
AP?BD1，则动点P的轨迹为__________。
【解析】在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易
证BD1?面ACB1，所以满足BD1?AP的所有点P都在一个平面ACB1上。而已知条件中
的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1
交线上，故所求的轨迹为线段B1C。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，
即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。
引申在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面?SCD内及其边界上运动，
总有PE?AC，则动点P的轨迹为_______________。
答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）
练习若A、B为平面?的两个定点，点P在?外，PB??，动点C（不同于A、B）在?内，
且PC?AC，则动点C在平面内的轨迹是________。
（除去两点的圆）
【例5】若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离
相等，则动点P的轨迹与?ABC组成的图形可能是：（）
AAAA
PP
PP
BCBCBCBC
ABCD
【解析】动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在?ABC
高考数学研究轨迹问题3/5
的内角平分线上。现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大
于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能
在?ABC的内角平分线与AB之间的区域内。只能选D。
引申已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离
相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）。
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利
用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等。B
二轨迹中的长度、面积与体积问题
【例6】已知正方体ABCDABCD?1111的棱长为1，在正方体的侧面BCCB11上到点A
距离为23
3
的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长
度为__________。
【解析】以B为圆心，半径为3
3
且圆心角为?2的圆弧，长度为3
6?
。
【例7】已知长方体ABCDABCD?1111中，ABBC??63,，在线段BD、AC11上各有
一点P、Q，PQ上有一点M，且PMMQ?2，则M点轨迹图形的面积是____。
提示轨迹的图形是一个平行四边形。8
【例8】已知棱长为3的正方体ABCDABCD?1111中，长为2的线段MN的一个端点在
DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体
的面所围成的几何体的体积。
【解析】由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几
何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半
径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球
的体积的18，即1843163?????。
【练1】四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,底面ABCD为梯
形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是
A.圆B.圆的一部分
C.抛物线D.抛物线的一部分
【解析】设∠APD=∠CPB=?，易知，PA=4cot?,PB=8cot?,
∴（定值）21?PBPA…………①
∵AD⊥平面PAB，AD?面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD
∴点P在过直线AB且与平面ABCD垂直的确定平面PAB内
P
AD
CB
高考数学研究轨迹问题4/5
∴点P轨迹是平面PAB内的一个圆
又直线AB上存在两点M、N使①式成立，当点P在M、N时，P、A、B、
C、D五点在同一平面内，不能构成四棱锥
∴顶点P的轨迹是圆的一部分
【练2】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M
在棱AB上，且AM=31,点P在平面ABCD上，
且点P到直线A1D1的距离的平方与点P到点
M的距离的平方差为1，那么动点P在平面
ABCD上的轨迹为
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
【解析】过P作PE⊥AD交AD于E,过E作EF⊥A1D1交A1D1于F,连结PF、PM.
则PE⊥面ADA1D1,由三垂线定理可证，PF⊥A1D1.
由题意，PF2-PM2=1
∵PF2=1+PE2∴PE2-PM2=0∴PE=PM
∴P是平面ABCD内到定点M的距离与到定直线AD的距离相等的点
（M不在直线AD上）
由解析几何知识知，动点P在平面ABCD上的轨迹为抛物线
【练3】三棱锥P-ABC中，已知侧面PAB内一动点M到点P的距离与它到底面ABC的距
离相等，则点M的轨迹所在的曲线有可能是：
①直线②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线
上述结论中，正确结论的所有序号是________________
【解析】设侧面PAB与底面ABC所成的二面角大小为?
过M作MO⊥底面ABC于O,过O作OD⊥AB交AB
于D,连结MD.
则定值）(sinMO??MD
∵MO=MP∴定值）(sinMP??MD
∵00﹤?≦900
∴0﹤sin?≦1∴点M的轨迹所在的曲线是椭圆或抛物线。
AB
C
D
B
1
A
11
11
11
C
1
D
!
M
PE
F
P
A
B
C
M
O
D
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