高考数学研究QQ2777676594曲线方程1/4
解析几何——（9）
高端视野:曲线方程
求轨迹方程的一般方法：
1.待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、
抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨
迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点
P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的
坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何
量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g
（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P''的运动引发的，而该点的
运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表
示出相关点P''的坐标，然后把P''的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），
可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通
过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两
方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
【例1】P是椭圆
5922yx?
=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点
的轨迹中点的轨迹方程为
（）
A、159422??yxB、154922??yxC、120922??yxD、53622yx?=1
【答案】：B
【解答】:令中点坐标为),(yx,则点P的坐标为()2,yx代入椭圆方程得1
54922??yx
,选B
【例2】圆心在抛物线)0(22??yxy上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程
是（）
A041222?????yxyxB01222?????yxyx
C01222?????yxyxD041222?????yxyx
【答案】：D
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【解答】:令圆心坐标为(),
22aa
,则由题意可得
2122??aa
,解得1?a,则圆的方程为
041222?????yxyx,选D
【例3】一动圆与圆O：122??yx外切，而与圆C：08622????xyx内切，那么动
圆的圆心M的轨迹是
A抛物线B圆C椭圆D双曲线一支
【答案】D
【解答】令动圆半径为R，则有
???????1||1||RMCRMO
，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
【例4】点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是
（）
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线
【答案】A
【解答】令M的坐标为),,(yx则
??
???
?
??
??
?
?
?
yy
xx
yy
xx
0
0
0
022代入圆的方程中得1422??yx,选
A
【例5】一动圆与圆O：122??yx外切，而与圆C：08622????xyx内切，那么动
圆的圆心M的轨迹是
A抛物线B圆C椭圆D双曲线一支
【解答】令动圆半径为R，则有
???????1||1||RMCRMO
，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。
【例6】已知两点)45,4(),45,1(??NM给出下列曲线方程：①0124???yx；②
322??yx；③1222??yx；④1222??yx，在曲线上存在点P满足
||||NPMP?的所有曲线方程是（）
A①③B②④C①②③D②③④
【答案】D
【解答】要使得曲线上存在点P满足||||NPMP?,即要使得曲线与MN的中垂线
32???xy有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D
【例7】两条直线01???myx与01???ymx的交点的轨迹方程是
_______________________.
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【解答】直接消去参数m即得(交轨法):022????yxyx
【例8】已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是
___________.
【解答】:令M点的坐标为(),yx,则A的坐标为(2)2,yx,代入圆的方程里面
得:)0(41)21(22????xyx
【例9】当参数m随意变化时，则抛物线??yxmxm?????22211的顶点的轨迹方程
为___________。
【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，
便可得到动点的轨迹方程。
【解答】：抛物线方程可化为xmym?????????????????1
254
2
它的顶点坐标为xmym??????1254，
消去参数m得：yx??34
故所求动点的轨迹方程为4430xy???。
【例10】点M到点F（4，0）的距离比它到直线x??50的距离小1，则点M的轨迹方程
为____________。
【分析】点M到点F（4，0）的距离比它到直线x??50的距离小1，意味着点M到点F
（4，0）的距离与它到直线x??40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方
程。
【解答】依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线x??4的距离相等。则点M的轨
迹是以F（4，0）为焦点、x??4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为yx216?。
【例11】求与两定点????OOA1030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________
【分析】设动点为P，由题意POPA?12，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量
关系式。
【解答】设??Pxy，是所求轨迹上一点，依题意得POPA?12
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由两点间距离公式得：??xy
xy
22
223
12?
???
化简得：xyx22230????
【例12】一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M
与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（）
A椭圆B双曲线C抛物线D圆
【答案】A
【解答】由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R为圆的半径），则P的轨迹
是椭圆，选A。
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