高考数学研究QQ2777676594椭圆离心率1/5
解析几何——（14）
高端视野:椭圆离心率
一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）
【例1】如果椭圆??22
22yx1ab0ab????
上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它
到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（）
A．(0,21]?B．[21,1)?C．(0,31]?D．[31,1)?
[解析]设2PFm?，由题意及椭圆第二定义可知
1PFme?122aPFPFm(e1)2ame1????????
2112PFPFFF??（当且仅当12PFF，，三点共线等号成立）mme2c???，把2ame1??
代入化简可得??2a1e2ce1???2e2e10e21???????又e1??e21,1?????,选B
二、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
【例1】椭圆221()xyab
ab?????
的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆
上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）
（A）20,
2???????
（B）10,2??????（C）?21,1???（D）1,12??????
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A
点的距离相等，而|FA|＝22abc
cc??
w|PF|∈[a－c,a＋c]于是2b
c
∈[a－c,a＋c]即ac－
c2≤b2≤ac＋c2∴222
222
accac
acacc
??????
?????
?
1
11
2
c
a
cc
aa
???
??
?????
?或
m又e∈(0,1)故e∈1,12??????答案：D
【例2】设椭圆221(0)xyab
ab????
的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，
使∠12FPF=900，求离心率e的取值范围。
解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，
∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆221(0)xyab
ab????
的焦点
∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2即c2≥a2-c2
由此可得，）e?[221
高考数学研究QQ2777676594椭圆离心率2/5
三、利用圆锥曲线中、xy的范围建立不等关系
【例1】设椭圆221(0)xyab
ab????
的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，
使∠12FPF=900，求离心率e的取值范围。
解析1：设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，）?，则
FPxcyFPxcy
FPFFPFP
FPFP
xcxcy
xyc
12
1212
12
2
222
90
0
0
??
??
??
????
????
??
????
??
()()
()()
，，，
由，知，
则，
即
得
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可
解得
x
acab
ab
FPF
xa
acab
ab
a
2
2222
22
12
22
2222
22
2
90
0
0
?
?
?
???
??
?
?
?
?
但由椭圆范围及
知
即
可得，即，且
从而得，且
所以，）
cbcacca
ec
a
ec
a
e
2222222
2
2
1
2
2
1
????
????
?[
解析2：由焦半径公式得
||||
||||||
PFaexPFaex
PFPFFF
acxexacxexc
aexcx
ca
e
Pxyxaxa
12
1
2
2
2
12
2
2222222
22222
22
2
22
224
2
2
0
????
??
??????
???
?
????
，
又由，所以有
即，
又点（，）在椭圆上，且，则知，即
02
2
21
22
2
2???
?
ca
ea
e得，）[
高考数学研究QQ2777676594椭圆离心率3/5
【例2】已知椭圆22xy
ab?
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，
使得∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．
解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a,0＜y0≤b．∵A（?a，0），B（a，
0），∴PAk=
axy?00，PBk
=
axy?00．
∵∠APB=1200，∴tan∠APB=-3，又tan∠APB=1PBPA
PBPA
kkkk??=22
020
02ayxay??，∴
2202002ayxay??
=?3，……①而点P在椭圆上，∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得
y0=
)(3222
2
baab?
．∵0＜y0≤b，∴0＜
)(3222
2
baab?
≤b．
∵a＞b＞0，∴2ab≤3（a2-b2），即4a2b2≤3c4，整理得，3e4+4e2-4≥0．考虑0＜e＜1，
可解得
36
≤e＜1．
【例3】已知椭圆221xy
ab??
(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°
则椭圆离心率e的取值范围______；
解：设|PF1|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a，①又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°
∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2．②①②联解，得mn＝224()
3ac?
又∵mn≤2()2mn?＝a2，∴224()
3ac?
≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得12≤e＜1
【例4】设椭圆221(0)xyab
ab????
的左右焦点分别为12FF、，如果椭圆上存在点P，
使∠12FPF=900，则离心率e的取值范围________。
解析：由椭圆定义，有212aPFPF??||||平方后得
42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc????????||||||||(||||)||
得ca2212?所以有，）e?[221
高考数学研究QQ2777676594椭圆离心率4/5
练习
1、设12、FF分别是椭圆221(0)xyabab????的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段1PF
的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（）
Ａ．2(0,]2Ｂ．3(0,]3Ｃ．2[,1)2Ｄ．3[,1)3
【解析】设若P为右准线与x轴的交点，可知22acc
c??
，即213e?，又P在右准线上可
知22acc
c??
，所以离心率的取值范围为3[,1)
3
．
2、椭圆221xyab??的焦点为12,FF，两条准线与x轴的交点分别为,MN．若122MNFF?，
则该椭圆离心率的取值范围是（）
Ａ．1(0,]2Ｂ．2(0,]2Ｃ．1[,1)2Ｄ．2[,1)2
【解析】因为两准线距离为22a
c
，又因为122FFc?，所以有224ac
c?
，即222ac?，所
以21
2e??
．
3、已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
FDBF2?，则C的离心率为______________。
【解析】如图，22||BFbca???,作1DDy?轴于点D1,则由FDBF2?，得
1
||||2||||3OFBFDDBD??,所以133||||22DDOFc??,
即32
Dcx?
,由椭圆的第二定义得2233||()
22accFDeaca????
又由||2||BFFD?,得232cca
a??
,整理得22320caac???.两边都除
以2a,得2320ee???,解得1()e??舍去，或23e?.
4、已知椭圆22:1(0)xyCabab??＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为
(0)kk＞的直线与C相交于AB、两点．若3AFFB?，则k?（）
（A）1（B）2（C）3（D）2
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，
x
O
y
B
F
1DD
高考数学研究QQ2777676594椭圆离心率5/5
B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由
，得，∴
即k=2，故选B.
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