高考数学研究QQ2777676594双曲线的第二定义1/4
A2A1F2F1xO
y
解析几何——（16）
高端视野:双曲线的第二定义
到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数??0cecaa???的点的轨迹是双曲线，
其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。
1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比acace??22，叫做双曲线的离心率；
（2）范围：1?e；
（3）双曲线形状与e的关系：
1122222???????eacaacabk；
因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭
逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；
（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；
2、准线方程：
对于1
2
2
2
2??byax来说，相对于左焦点)0,(1cF?对应着左准线caxl2
1:??
，相对于右焦
点)0,(2cF对应着右准线caxl2
2:?
；
位置关系：02???caax，焦点到准线的距离cbp2?（也叫焦参数）；
对于1
2
2
2
2??bxay来说，相对于下焦点),0(1cF?对应着下准线cayl2
1:??
；相对于上焦点
),0(2cF对应着上准线cayl22:?。
A2A1F2F1xO
y
A2
A1
F2
F1
xO
y
3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点M与双曲线焦点12FF、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0(1
2
2
2
2????babyax，21,FF是其左右焦点，
高考数学研究QQ2777676594双曲线的第二定义2/4
edMF?11，∴e
c
ax
MF?
?20
1，∴10MFaex??；同理20MFaex??；
即：焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
10
20
MFaexMFaex???????
??
同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
10
20
MFaeyMFaey???????
??
（其中12FF、分别是双曲线
的下、上焦点）
点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，
需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对
值号）。
4、焦点弦：
过焦点的直线截双曲线所成的弦。
焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点????1122,,AxyBxy、，
（1）当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关，
①过左焦点与左支交于两点时：??
122cABaxxa????
；
②过右焦点与右支交于两点时：??
122cABaxxa????
。
（2）当双曲线焦点在y轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关，
①过下焦点与下支交于两点时：??
122cABayya????
；
②过上焦点与上支交于两点时：??
122cABayya????
。
5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到abd22?。
【例1】平面内，点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到直线2:alx
c?
的距离的比是常
数(0)ccaa??，求点M的轨迹。
解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求的轨迹就是
22
2
22222222
22
222
22
()||
,.
,()().
,1(0,0).
xcyMFcc
PM
daaa
x
c
caxayaca
xy
cabab
ab
????
?????
???
????
??????
集合由此得
化简得
设就可化为
这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线。
高考数学研究QQ2777676594双曲线的第二定义3/4
【例2】如果双曲线221
6436xy??
上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦
点F的距离|PF|。
:648,366,643610
||||10,,||10
88
abc
PFcPFPF
da
????????
?????
解
即点P到右焦点F的距离|PF|为10。
如上题如何求P到左焦点F′的距离|PF′|？
解：||PF′|－|PF||=2a，∴||PF′|－10=16，∴|PF′|=26
方法二：双曲线左支上的点离右准线的距离的最小值2()14.48aa
c????
，故P
点为双曲线右支上的点，∴P到左准线的距离26428220.8.
10addc??????
由
双曲线的第二定义||10||10,,||26.820.88PFPFPFd????????即
注：通过一题多解巩固双曲线中焦点与准线的“对应”关系。
【例3】已知点A（5，3），F（2，0），在双曲线221
3yx??
上求一点P，使1||||2PAPF?
的值最小。
解：∵a=1，b=3，∴c=2，e=2ca?，
设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPFdd???
即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于
准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（2，3）。
【例4】双曲线221
97xy??
上一点P到左、右焦点F1、F2的距离之比为1：2，求P到右准
线的距离d.
2112
2
2
:3,7,
4,
||||26,||:||1:2,
||124||12,,,9.
3
ab
c
PFPFaPFPF
PFcPFed
dad
??
??
????
???????
解
故
【例5】双曲线221
97xy??
上一点P到左、右焦点F1、F2的距离之比为1：2，试求P点的
坐标。
解析：设P点的坐标为P（x,y），则2927||9,
44axdc?????
高考数学研究QQ2777676594双曲线的第二定义4/4
显然点P在双曲线的左支上，274550,(,).
44xP????可求得
方法二：设点P（x,y）到左、右两准线的距离分别为d1、d2，
1211
1222
2
1
2
||||||1
,.3,7,4,
||2
9
,
4
9
14
,,
92
4
2745527455
(,)(,).
4444
PFPFdPF
eabc
dddPF
a
x
c
x
d
P
d
x
P
???????
?????
??
??
?
???
准线方程为
又在双曲线的左支上
可求得或
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