高考数学研究QQ2777676594共轭双曲线1/3
解析几何——（19）
高端视野:共轭双曲线
命题1：与双曲线
2
2
2
2byax?=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线系方程为
2
2
2
2byax?=?(?≠0)()
证明：（1）当?>0时，方程()可变形为
??2222byax?
=1,22,0ba???>0.表示中心在
原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=
??ab?
x=xab?，与双曲线
2
2
2
2byax?=1的渐近线相同。
（2）当?<0时，方程()可变形为
??2222axby???
=1,-22,0ab????>0.。表示中心在
原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=
?????ab
x=xab?，与双曲线
2
2
2
2byax?=1的渐近线相同。
由（1）（2）可知，原命题成立。
同理，与双曲线
2
2
2
2bxay?=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线系方程为
2
2
2
2bxay?=?(?
≠0)。
命题2:以直线Ax?By=0为渐近线的双曲线系方程为(Ax+By)(Ax-By)=?(?≠0)，即
A2x2-B2y2=?(?≠0)。
推论:以两条相交直线l
1
:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线系方程为
（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=?(?≠0)。
例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=?bax(a>0,b>0)，若双曲线上有一点
M(x0,y0)，使b0x>a0y，则双曲线的焦点（）
A.当a>b时在x轴上B.当a
C.在x轴上D.在y轴上
解：由双曲线的渐近线方程为y=?bax，即bx?ay=0,可知双曲线的方程为b2x2-a2y2=?
（?≠0）。
∵点M(x0,y0)在双曲线上，∴?=b2x02-a2y02>0,∴双曲线的焦点在x轴上,故选C.
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例2.求与双曲线
16922yx?
=1有共同的渐近线，且经过点A（-3，23）的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为
16922yx?
=?(?≠0)。将A点坐标代入，得?=41，故所求双
曲线方程为
16922yx?
=41，即4
4
9
22yx?=1
例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点
P(8,63)，则其方程是___________。
解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0。因此，所求双曲线方程可
表示为(3x+2y)(3x-2y)=?，即2249yx?=?(?≠0)。将P点坐标代入，得?=144，故
所求双曲线方程为2249yx?=144，即
361622yx?
=1。
例4.以椭圆224yx?=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y=0的双曲线方程是_____。
解：由
166422yx?
=1，得c2=48，设所求双曲线方程为223yx?=?(?≠0)，即
3
22
??yx?=1。
由已知知?=c2=48，故所求双曲线方程为
164822yx?
=1。
例5.以双曲线224yx?=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+3y=0的双曲线方程是
_________。
解：由
166422yx?
=1，得c2=80。设所求双曲线方程为223yx?=?(?≠0)，即
3
22
??yx?=1。
由已知，得?+3?=80，∴?=60,故所求双曲线方程为
206022yx?
=1。
例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲
线的方程。
解：设所求双曲线方程为2249yx?=?(?≠0)，即
49
22
??yx?=1,则9?+4?=(-4)
2=16,∴
?=13576。故所求双曲线方程为
13
144
13
60
22yx?=1。
例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)
的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。
解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求双曲线的方程为（2x+y-8）
（2x-y-4）=?(?≠0)。将顶点坐标代入，得?=16。故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）
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=16。化简整理，得
16)2(4)3(22???yx
=1。
例8.求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。
解：由5y+4=0即y=-54为双曲线的一条准线可知双曲线的焦点在平行于y轴的直线上。
设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=?(?≠0)，即
9
)2(
16
)1(22???????xy=1,∴
c2=916?????=)(14425???,∴从而有
?
?
?
?
12
516=1+5954?,即??20359?,∴?=-144,
故所双曲线方程为：
16)2(9)1(22???xy
=1.
例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。
解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=?(?≠0)，则?=[2×2+4×（-1）-8][1
×2-3×（-1）+4]=-72,∴所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=-72,即
x2-6y2-xy+20y+20=0.
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