高考数学研究QQ2777676594双曲线渐近线1/2
解析几何——（20）
高端视野:双曲线渐近线
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的几何性质中特有性质，它刻画了双曲线的大致走向.
因此加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于对双曲线的定义、性质的进一步理解和对
解题方法的把握.
一、深刻理解双曲线的渐近线概念
1﹑对关键词“渐近”的理解：它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限的靠
近，但永远都不会相交.也可以这样理解：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐
接近，接近的程度是无限的.还可以这样理解：当双曲线的动点M沿着双曲线无限远离双曲
线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.
2﹑渐近线的作法：过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，
它们是围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.
3、明确双曲线渐近线的作用：利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精
确，只要作出它的两个顶点和渐近线，就能画出它的近似图形.
二﹑掌握双曲线的渐近线方程的求法
根据双曲线的标准方程求渐近线：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了
此双曲线的渐近线方程.也就是说，若双曲线方程为x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程
的求法是令x
2
a2－
y2
b2＝0，即两条渐近线方程为
x
a±
y
b＝0；若双曲线方程为
y2
a2－
x2
b2＝1(a＞0，b＞
0)，则渐近线方程的求法是令y
2
a2－
x2
b2＝0，即两条渐近线方程为
y
a±
x
b＝0．
三、掌握双曲线渐近线常见结论
1﹑两条渐近线的倾斜角及斜率关系：两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数.
2﹑两条渐近线的对称关系：两条渐近线关于x轴、y轴对称.
3﹑等轴双曲线的的渐近线方程：y＝±x.
4﹑共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同.
5﹑渐近线的参照性：如果平面上的一条直线与双曲线的任一条渐近线平行，则直线与
双曲线相交，且只有一个交点.
四、典例分析
1、根据几何性质求双曲线的渐近线
例1已知F1、F2为双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，
它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2＝30?，则双曲线的渐近线方程为()
(A)y＝±22x(B)y＝±3x(C)y＝±33x(D)y＝±2x
分析：由条件知△PF1F2为一个直角三角形，又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30?，因此只需再
确定由a、b、c表示的另一边，由条件易知，点|PF2|易确定，由三角函数建立等式，问题基
本上就可能解决了.
解：设双曲线的焦点F1(c，0)、F2(－c，0)，则将x＝c代入双曲线方程得点P(c，
b2
a)，
高考数学研究QQ2777676594双曲线渐近线2/2
又∠PF1F2＝30?，∴
b2
acot30?＝2c，∴3b2＝2ac，∴c＝
3b2
2a，
代入c2＝a2＋b2，得3b4－4a2b2－4a4＝0，即(3b2＋2a2)(b2－2a2)＝0，∴
b
a＝2，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选D.
点评：根据双曲线的几何性质求渐近线：主要是根据条件确定b、c或a、c的比例关系，
再结合a、b、c之间的平方关系a2＋b2＝c2，确定a、b之间的比例关系，进而得到双曲线的
渐近线方程，但要注意双曲线的焦点位置.
2﹑根据渐近线求双曲线的标准方程
根据双曲线的渐近线方程求它的曲线方程的简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方
程为xa±yb＝0，则所求双曲线的方程可设为x
2
a2－
y2
b2＝m，这里m为不等于0的待定常数，其
值可由题目中的已知条件通过建立方程确定.此方法可适当推广：求与双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞
0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程同样可设为x
2
a2－
y2
b2＝m(m为不等于0的待定常数).
例2已知双曲线的渐近线方程是y=±43x，焦点在坐标轴上，且经过点A(－3，23)，
求双曲线方程.
分析：先将渐近线方程是y=±
4
3x化为
x
3±
y
4＝0，则可设所求双曲线方程为
x2
9－
y2
16＝λ(λ
≠0)，然后再将点A(－3，23)代入建立方程求得参数，进而求得双曲线方程.
解：双曲线的渐近线方程化为
x
3±
y
4＝0，因此设所求双曲线方程为
x2
9－
y2
16＝λ(λ≠0)，
∵点A(－3，23)在双曲线上，∴
(－3)2
9－
(23)2
16＝λ，得λ＝
1
4，
因此，所求双曲线方程为
4x2
9－
y2
4＝1.
说明：本例有两种常规解法：一是按焦点在x轴上，或焦点在y轴上的两种情况分别求
解；二是先判断点A在渐近线上方还是下方，来确定双曲线类型，然后求解.这两种方法都
较繁.上面提供的解法是根据已知双曲线的渐近线方程，巧设双曲线系方程，避免了研究双
曲线方程类型，简化了解题过程.
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