高考数学研究QQ2777676594抛物线焦点弦1/3
解析几何——（24）
高端视野:抛物线焦点弦
1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211yxByxA，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p?若
抛物线22ypx?，)(21xxpAB???奎屯王新敞新疆抛物线22ypx??，)(21xxpAB???奎屯王新敞新疆
当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p?若
抛物线22xpy?，)(21yypAB???奎屯王新敞新疆抛物线22xpy??，)(21yypAB???奎屯王新敞新疆
3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯王新敞新疆直接应用抛物线定义，得到通径：pd2?奎屯王新敞新疆
4、焦点弦常用结论：
结论1：韦达定理
??
???
?
??
pxy
pxky
2
)2(
2
0222????pykpy
和04)2(22222????pkxppkxk
221pyy???和421pxx?奎屯王新敞
新疆
结论2：pxxAB???21
证：pxxpxpxBFAFAB?????????
2121)2()2(
结论3：若直线L的倾斜角为?，则弦长?
2sin2pAB?
证:(1)若2???时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通
径,结论得证???pAB2
(2)若2???时,则
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???
?
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pxy
pxky
2
)2(
2
0222????pykpy?
?
???
??
???
221
21
2
pyyk
pyy
高考数学研究QQ2777676594抛物线焦点弦2/3
?sin24422
2
21ppkpyy???????221sin2sin1pyyAB????
结论4：过焦点的弦中通径长最小
pp2sin21sin22???????AB的最小值为p2,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论4：)(
8
32为定值p
ABSoAB??
011sinsin22OABOBFAFSSSOFBFOFAF?????????????
??21112sinsinsin2222sinppOFAFBFOFAB??????????????22sinp??
23
8OABSPAB???
结论5：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1，过B点作准线的垂线BB1，
过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
22211
1ABBFAFBBAAMM?????
故结论得证
结论6：连接A1F、B1F则A1F?B1F
FAAFOAFOAFAAOFAAAFAFAAAFAA11111111//,???????????????
同理???????901111FBAFBBFOBA1F?B1F
结论7：（1）AM1?BM1（2）M1F?AB（3）BFAFFM??21
（4）设AM1与A1F相交于H，M1B与FB1相交于Q则M1，Q，F，H四点共圆
（5）2121214MMBMAM??
证：由结论（6）知M1在以AB为直径的圆上?AM1?BM1
?11FBA?为直角三角形，M1是斜边A1B1的中点
111111111AFAFAAFAMFAMFMMA??????????
???????9011111MAAMFAFAA???????90111FMAAFA?M1F?AB
BFAFFM???21?AM1?BM1FBFA90111??????又BAM
????90FBA11所以M1，Q，F,H四点共圆，22121ABBMAM??
高考数学研究QQ2777676594抛物线焦点弦3/3
??????2121211242MMMMBBAABFAF??????
结论8：（1）、AO、B1三点共线（2）B，O，A1三点共线
（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴
（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴
证：因为
p
y
p
yk
y
p
p
y
y
x
yk
oBoA22
121
1
1
12
2
,2
2
1???????
，而221pyy??
所以
1
2
2
2
22
oBoAkp
y
y
p
pk???
??
所以三点共线。同理可征（2）（3）（4）
结论9：
pFBFA211??
证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为
E,?的倾斜角为因为直线L
则??cos1cos????????PAFAFAFPFREFER
PAF?cos11???
同理可得
PBF?cos11??
?
pFBFA211??
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