高考数学研究抛物线最值1/4
解析几何——（25）
高端视野:抛物线最值
解决抛物线中的最值问题，要注意联系抛物线的定义和性质，结合换元思想或引入参数，
重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式问题进行讨论．下面一一例析：
一、定义法
由于抛物线线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，因此在解决与焦点或准线有关
的抛物线最值问题，往往通过把折线转化为直线求其最值
【例1】已知抛物线22yx?的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点(32)A，，求PAPF?
的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．
解：将3x?代入抛物线方程22yx?，得6y??．
∵62?，∴A点在抛物线内部，如图１，设点Ｐ到准线1:2lx??
的距离为d，由定义知PAPFPAd???．
由图可知，当APl?时，PAd?最小，最小值为72AP??，即
PAPF?的最小值为72，此时Ｐ点纵坐标为2，代入22yx?，得2x?．∴Ｐ点坐标为
(22)，．
点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从
而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解
二、利用抛物线的性质
有些抛物线中的最值问题可以利用抛物线的几何性质如：抛物线的对称性、焦半径公式、
焦点弦公式、通径长公式等进行转化，从而优化了整个解题过程，同时还能提高同学们的思
维及解题能力
【例2】设P为抛物线y2=x上一点，且P到此抛物线的准线的距离为d,当P点到直线
x-y+2=0的距离最小时，d的值等于__________
解:由题意设抛物线与直线2??yx平行的切线为,bxy??联立
??
????bxyxy2.
即0,0)12(22??????由bxbx得,0414422????bbb求得,41?b
,41???xy再由?
?
???
?
??
xy
xy
2
4
1,求得P点的横坐标
41?x
又抛物线的准线.41:??xl结合抛物线的性质得.214141???d
点评：对于求一条定直线到抛物线上动点的距离最值问题，常常利用距离公式转化为二次函
高考数学研究抛物线最值2/4
数最值问题处理，但要注意函数的定义域
点评：此处把点到已知直线的距离最小转化为平行线间的距离最小，此种方法也是求抛物线
线上的点到已知直线距离最小的常用方法，比如例2都可以用此法，同学们不妨试求一下.
三、均值不等式法
根据题目条件建立多元等式，在充分考虑不等式的最值条件前提下，应用均值不等式定
理及其推论等进行求解最值
【例3】过抛物线y2=2px的焦点F，作两条互相垂直的弦AB、CD，求|AB|+|CD|的最小
值．
解：由题意可知，AB、CD均不垂直于x轴．如图，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的斜
率为k，则y21=2px1，y22=2px2．二式相减，得：y21－y22=2p(x1
－x2)．∴y1+y2=2p·
21
21yyxx??=kp2．又AB的方程为y=k(x
－2p)，所以y1+y2=k(x1－x2)－kp．
∴x1+x2=
22kp
+p．∴|AB|=|AF|+|BF|=(x1+2p)+(x2+2p)=
2p+
22kp
．
∵AB⊥CD，∴kCD=－k1，即有|CD|=2p+
2)1(
2
k
p
?
=2p+2pk2．
从而|AB|+|CD|=4p+2p(k2+
21k
)≥4p+2p·2=8p．
故当k2=
21k
，即k=±1时，|AB|+|CD|取得最小值8p
点评：运用重要的均值不等式及其变形也是求解抛物线中最值问题的一种常用方法，但要注
意应用均值不等式的前提条件
【练1】点A（3，2）为定点，点F是抛物线y2=4x
的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|
取得最小值，求点P的坐标。
解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，设P到准线的距离
为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，
由图3可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最
小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）。
【练2】在抛物线24yx上求一点，使它到直线45yx的距离最短，并求最短距离。
21(
，1）
【练3】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是（）
Fx
y
A
O
B
C
D
A
P
FO
d
X=1
x
y
图3
高考数学研究抛物线最值3/4
A．43B．75C．85D．3
解：抛物线上任意一点(t,－t2)到直线的距离d=
|4t－3t2－8|
5=
|3t2－4t+8|
5.
因为△=42－4×3×8＜0，所以3t2－4t＋8＞0恒成立.从而有d＝
1
5(3t2－4t＋8)＝
3
5(t－
2
3)2＋
4
3，
所以当t＝
2
3时，dmin＝
4
3.故选A.
【练4】抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________21(，1）
【练5】已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线
x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为（C）
A．5B．4C．1155（D）11
5
【练6】已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22
的最小值是___32_______.
【练7】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线xy?2上移动，记线段AB的中点为M，
求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。
解法一（补充：判别式法）：设点Ａ、Ｂ的坐标分别为),(11yx，),(22yx，那么211yx?，
222yx?①由题意，得2122122)()(3yyxx????②，又AB的中点M（x,y）到y轴的
距离为122xxx??③，将①③代入②整理得02432)(42221221?????xxyyyy④，
∵21yy为实数，
故△＝0)243(44422?????xx又∵x>0得45?x⑤，当45?x时，△＝０由④解
得41
21??yy
⑥，2214522122)(
212221221??????????xyyyyyy
，可得
221??yy⑦，由⑥，⑦可得1y，2y，由①即得相应的1x，2x。
故AB的中点M距y轴最短距离为45
0?x
，且相应的中点坐标为)
22,45(
或)
22,45(?
。
法二（基本不等式法）：121xy?222xy?212221xxyy???∴yxxyyk21
21
21????
∴221222122))(41(9)]()2(1[3yyyyyy???????
∵2221212yyxxx????①212yy??②
由①－②２得212242yyyx???③①＋③得2212)(44yyyx???④
高考数学研究抛物线最值4/4
BA
第5题
y
xNO
④代入①得455192441942
2????????xyyx
当且仅当144192
2???yy
212?y
22??y
时等式成立。
∴45
min?x
)
22,45(?M
说明：此法即为下面的基本不等式法。
【练8】如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆221
43xy??
的一段围成封闭图形，点N（1，0）
在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB的周长l
的取值范围。
解：易知N为抛物线y2=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，
抛物线的准线l1：x=-1，椭圆的右准线l2：x=4，
过A作AC?l1于C，过B作BD?l2于D，
则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
由
2
22
4
143
yx
xy
???
????
?
，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标23x?
而|BN|=e|BD|=12|BD|,|AN|=|AC|
∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|
=|BC|+12|BD|=|BC|+|BD|-12|BD|
=|CD|-12|BD|=5-12|BD|
242||43BD????，即151||23BD??
1043l???，即l的取值范围为（103，4）
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