高考数学研究QQ2777676594分群数列1/4
数列——（3）
高端视野:分群数列
将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分
组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将作为第一组，将作
为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为
单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
一般地，数列{}的分群数列用如下的形式表示：（），（），
（），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个
括号称为第3群，……，第个括号称为第群，而数列{}称为这个分群数列的原数列。
如果某一个元素在分群数列的第个群中，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元
素为第群中的第个元素。
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列{}分群，还可以得到下面
的分群数列：
第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…；
第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…
等等。
【例1】将正奇数集合从小到大按第组有个奇数进行分组：{1}，{3，5，
7}，{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？
解：需要写出第n组的第1个数与最后一个数，1991介于其中，而第n组的最后一个数为
。第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1]+2=2(n
－1)2+1。由题意知2(n－1)2+1，
解得(n－1)2且，从而且，故，即1991位于第32级中。
【例2】设等差数列的首项是，公差为，将按第组有个数的法则分组
如下：，，，……，
试问是第几组的第几个数？并求出所在那组的各项的和
解：设位于第组，则前组共有3+6+9+…+3（k－1）=项，
所以即
高考数学研究QQ2777676594分群数列2/4
解此方程组得：，
因为且－（，所以
。
因此，是第组的第个数，其中。
因为第组是以为首项，为公差的等差数列，所以其所
有项的和等于，其中
。
【例3】设奇数数列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的个数分群如下：
（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），……（2）
（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？
（II）求第个群中的所有的元素之和。
解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群：
（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19），……（3）
由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第
4个元素。对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数
列（2）中的第402个群中的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2
个元素。
（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。
若为偶数，则，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第3，4，5
个元素，由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的
元素之和为；
若为奇数，设，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的
第1，2个元素。由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中
的第群的元素之和为。
高考数学研究QQ2777676594分群数列3/4
解：（Ⅰ）由题意知1(1)mnmand???．
212121[1(1)][1(1)](1)()nnaandndndd??????????，
同理，3232(1)()nnaandd????，4343(1)()nnaandd????，…，
(1)1(1)()nnnnnnaandd??????．
又因为123,,,,nnnnnaaaa成等差数列，所以2132(1)nnnnnnnnaaaaaa???????.
故21321nndddddd???????，即{}nd是公差为21dd?的等差数列．
所以，12112(1)()(2)(1)mddmddmdmd????????．
令122,1pmpm????，则1122mdpdpd??，此时121pp??．…………4分
（Ⅱ）当121,3dd??时，21()mdmm???N．
数列{}md分组如下：123456789(),(,,),(,,,,),ddddddddd．
按分组规律，第m组中有21m?个奇数，
所以第1组到第m组共有2135(21)mm??????个奇数．
注意到前k个奇数的和为2135(21)kk??????，
所以前2m个奇数的和为224()mm?.
即前m组中所有数之和为4m，所以44()mcm?．
因为0mc?，所以mcm?，从而2(21)2()mcmmdmm????N．
所以234112325272(23)2(21)2nnnSnn????????????????.
23412123252(23)2(21)2nnnSnn??????????????.
故2341222222222(21)2nnnSn???????????????
2312(2222)2(21)2nnn??????????
12(21)22(21)221nnn?????????1(32)26nn????.
所以1(23)26nnSn????．…………………………………9分
高考数学研究QQ2777676594分群数列4/4
（Ⅲ）由（Ⅱ）得21()ndnn???N，1(23)26nnSn????()n?N.
故不等式1(6)50
nnSb??
就是1(23)250(21)nnn????．
考虑函数1()(23)250(21)nfnnn?????1(23)(250)100nn?????．
当1,2,3,4,5n?时，都有()0fn?，即1(23)250(21)nnn????．
而(6)9(12850)1006020f?????，
注意到当6n≥时，()fn单调递增，故有()0fn?.
因此当6n≥时，1(23)250(21)nnn????成立，即1(6)50
nnSd??
成立．
所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N?．…………………………14分
|
|
