高考数学研究QQ2777676594数列极限1/5
数列——（5）
高端视野:数列极限
１．引言：
对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：
第１天截下12，第２天截下
2111222??
，第３天截下
23111222??
，…，第n天截下
1111222nn???
，…得到一个数列：
??????n21
：
231111,,,,,2222n
不难看出，数列1
2n??????
的通项12
n
随着n的无限增大而无限地接近于零。
一般地说，对于数列??na，若当n无限增大时，na能无限地接近某一个常数a，则称
此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称
为发散数列。
据此可以说，数列1
2n??????
是收敛数列，０是它的极限。
数列????21,1(1)nn???都是发散的数列。
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述
性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。
以11
n???????
为例，可观察出该数列具以下特性：
随着n的无限增大，11
nan??
无限地接近于1?随着n的无限增大，11n?与１的距
离无限减少?随着n的无限增大，1|11|n??无限减少?1|11|n??会任意小，只要n充分
大。
如：要使1|11|0.1n???，只要10n?即可；
要使1|11|0.01n???，只要100n?即可；
任给无论多么小的正数?，都会存在数列的一项Na，从该项之后()nN?，
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1|11|n??????????。即0,N????，当nN?时，1|11|n??????????。
如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n??，取1[]1N???即可。
这样0,???当nN?时，111|11|
nnN????????????
。
综上所述，数列11
n???????
的通项11n?随n的无限增大，11n?无限接近于１，即是对任
意给定正数?，总存在正整数Ｎ，当nN?时，有1|11|
n??????????
。此即11
n???????
以１为极
限的精确定义。
2．数列极限的定义：
定义1设??na为数列,a为实数,若对任给的正数?,总存在正整数N,使得当nN?时有
||naa???,则称数列??na收敛于a,实数a称为数列??na的极限,并记作limnnaa???或
()naan???.
读作：当n趋于无穷大时,na的极限等于a或na趋于a。由于n限于取正整数,所以在数列极
限的记号中把n???写成n??,即lim
nnaa???
或()naan???.
若数列??na没有极限，则称??na不收敛，或称??na为发散数列。
３．举例说明如何用N??定义来验证数列极限：
例１．证明为正数。这里?
?,01lim???nn
证明：0???，?11
1????
?
???
??
??
N，则当Nn?时，便有????????Nnn1101，
所以.01lim?
???nn
（注：这里取整保证N为非负整数；1?保证N为正整数。）
例２．证明lim0(||1)n
nqq????
.
证明：0???（不妨设1??），?
qNlglg??
，则当Nn?时，便有????nnqq0，
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所以lim0(||1)n
nqq????
.
(注：这里限制1??保证N为正数，但这并不影响证明过程；N并不一定是整数。)
例３．证明
321lim097nnn?????
.
证明：0???，12??
?
??
?
????N，则当Nn?时，便有
??????????233322791207912nnnnnnn，所以321lim097nnn?????.
例４．证明2
23lim33nnn????
.
证明:由于)3(9
3933322
2??
????nnnnn
，因此，0???，
?????????9,3maxN
，则当
Nn?时，便有????333
2
2
nn
，所以2
23lim33nnn????
.
例５．证明lim1n
na???
，其中0a?.
证明：当1?a时，结论显然成立.现设1?a，记11??na?，则0??.由
)1(11)1(1???????nnanna??得naan111???于是，
0???，?1???aN，则当Nn?时，便有???1na，所以lim1n
na???
.
对于10??a的情形，留作练习。
４．关于数列的极限的N??定义的几点说明：
（１）关于?：①?的任意性。定义１中的正数?的作用在于衡量数列通项na与常数a
的接近程度，?越小，表示接近得越好；而正数?可以任意小，说明na与常数a可以接近
到任何程度；②?的暂时固定性。尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，
以便依靠它来求出Ｎ；③?的多值性。?既是任意小的正数，那么2,3,2???等等，同样也
是任意小的正数，因此定义１中的不等式||naa???中的?可用2,3,2???等来代替。从而
“||naa???”可用“||naa???”代替；④正由于?是任意小正数，我们可以限定?小
于一个确定的正数。
（２）关于Ｎ：①相应性，一般地，Ｎ随?的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N?，来强
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调Ｎ是依赖于?的；?一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性。Ｎ的相应性并不意味着
Ｎ是由?唯一确定的，因为对给定的?，若100N?时能使得当nN?时,有||naa???,
则101N?或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，
最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然
数，只要Ｎ是正数即可；而且把“nN?”改为“nN?”也无妨。③N的取值也不一定
必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数N如果存在，比N大的任何正整数必
能使条件成立。
（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当nN?时有||naa???”?“当nN?时
有naaa??????”?“当nN?时有??,(;)naaaUa???????”?所有下标大
于Ｎ的项na都落在邻域(;)Ua?内；而在(;)Ua?之外，数列??na中的项至多只有Ｎ个（有
限个）。反之，任给0??，若在(;)Ua?之外数列??na中的项只有有限个，设这有限个项
的最大下标为Ｎ，则当nN?时有(;)naUa??，即当nN?时有||naa???，由此写出
数列极限的一种等价定义（邻域定义）：
定义1?任给0??，若在(;)Ua?之外数列??na中的项只有有限个，则称数列??na收
敛于极限a.
由此可见：１）若存在某个00??，使得数列??na中有无穷多个项落在0(;)Ua?之外，
则??na一定不以a为极限；２）应该注意，任给0??，若在(;)Ua?内数列??na中的项有
无限多个，并不能说明数列??na收敛于极限a。
例6.证明??2n和??(1)n?都是发散数列。
分析：即证数列不以任何Ra?为极限，利用定义''1。
证明：Ra??，取10??，则数列??2n中所有满足1??an的项（有无穷多个）显然都
在);(0?aU之外，故??2n不以任何Ra?为极限，即数列??2n是发散数列。
取1?a，10??，则在);(0?aU之外有??(1)n?中所有奇数项（无穷多项），故??(1)n?
不以1为极限；对1??a，取121
0??a?
，则在);(0?aU之外有??(1)n?中所有偶
数项（无穷多项），故??(1)n?不以1??a为极限。从而??(1)n?不以任何Ra?为极
限，即??(1)n?是发散数列。
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例7.设limlim
nnnnxya??????
，作数列如下：??1122:,,,,,,,nnnzxyxyxy.
证明lim
nnza???
.
证明：因limlim
nnnnxya??????
，故0???，数列??nx和??ny在);(?aU之外的项都至多只
有有限个，所以数列??nz中落在);(?aU之外的项至多只有有限个，从而lim
nnza???
。
例8.设??na为给定的数列，??nb为对??na增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证
明：数列??nb与??na同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。
证明：设??na为收敛数列，且aa
nn???lim
，故0???，数列??na中落在);(?aU之外的
项至多只有有限个，而数列??nb为对??na增加、减少或改变有限项之后得到的数列，
故从某一项开始，??nb中的每一项都是??na中确定的一项，所以??nb中落在);(?aU
之外的项至多只有有限个，这就证得数列??nb收敛，且有ab
nn???lim
。
现设??na为发散数列，倘若??nb收敛，则因??na可看成是对??nb增加、减少或改变有
限项之后得到的数列，故由前面证明可知??na为收敛数列，矛盾，所以当??na发散时
??nb也发散。
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