高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练1/5
120分基础大题训练11
时间：三角8min，概率统计8min,立体几何10min.
要求：40分，按答案标准给分
（15）（本小题共13分）
已知函数22()(sin2cos2)2sin2fxxxx???.
（Ⅰ）求()fx的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()ygx?的图象是由()yfx?的图象向右平移8?个单位长度，再向上平移1
个单位长度得到的，当x?[0,4?]时，求()ygx?的最大值和最小值.
（16）（本小题共13分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品
的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是
二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏
损2万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；
（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
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P
F
E
A
B
C
F
A1
CPB
E
（17）（本小题共13分）
如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的
点，且满足1AEFCCP???.将△AEF沿EF折起到△1AEF的位置，使二面角
1AEFB??成直二面角，连结1AB，1AP.（如图2）
（Ⅰ）求证：EA1⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线EA1与平面BPA1所成角的大小.
图1图2
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（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为22()(sin2cos2)2sin2fxxxx???
sin4cos4xx??
2sin(4)4x???,
…………6分
所以函数()fx的最小正周期为2?.…………8分
（Ⅱ）依题意,()ygx??2sin[4()8x??4??]1?
2sin(4)14x????.…………10分
因为04x???，所以34444x???????.…………11分
当442x????，即316x??时，()gx取最大值21?；
当444x?????，即0x?时，()gx取最小值0.…………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3?.…………2分
(10)PX?0.80.90.72???，(5)0.20.90.18PX????，
(2)0.80.10.08PX????，
(3)0.20.10.02PX?????.…………6分
由此得X的分布列为：
X10523?
P0.720.180.080.02
………8分
（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n?件.
由题设知4(4)10nn???，解得145n?，
又n??N且4n?，得3n?，或4n?.…………10分
所求概率为33440.80.20.80.8192PC?????.（或写成512625）
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D
P
F
E
A
C
B
x
y
z
A1
F
CPB
E
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.…………13分
（17）（共13分）
（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.
因为1AECF??，1DE?，
所以2AFAD??，而60A??，即△ADF是正三角形.
又因为1AEED??,所以EFAD?.…………2分
所以在图2中有1AEEF?，BEEF?.…………3分
所以1AEB?为二面角1AEFB??的平面角.图1
又二面角1AEFB??为直二面角，
所以1AEBE?.…………5分
又因为BEEFE?,
所以1AE⊥平面BEF,即1AE⊥平面BEP.…………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1AE⊥平面BEP，BEEF?，如图，以E为原点，建立空间直
角坐标系Exyz?，
则(0,0,0)E，1(0,0,1)A，(2,0,0)B，(0,3,0)F.
在图１中，连结DP.
因为12CFCPFAPB??，
所以PF∥BE，且12PFBEDE??.
所以四边形EFPD为平行四边形.
所以EF∥DP，且EFDP?.
故点P的坐标为（1，3，0）.图2
所以1(2,0,1)AB??，(1,3,0)BP??，1(0,0,1)EA?.…………8分
不妨设平面1ABP的法向量(,,)xyz?n，则10,
0.
AB
BP
?????
????
n
n
即20,
30.
xz
xy
?????
????
令3y?，得(3,3,6)?n.…………10分
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所以cos?1EA?n,1
1
632||||143EAEA?????nn.…………12分
故直线1AE与平面1ABP所成角的大小为3?.…………13分
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