高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练1/5
120分基础大题训练18
时间：三角8min，概率统计8min,立体几何10min.
要求：40分，按答案标准给分
15．已知函数22π()cos2sincos
3fxxxx??????????
⑴求函数()fx的最小正周期及图象的对称轴方程；
⑵设函数2()[()]()gxfxfx??，求()gx的值域．
16．如图，在四棱锥PABCD?中，PA?平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
90ABCBAD?????，12PAABBCAD???．E为AB中点，F为PC中点．
⑴求证：PEBC?；
⑵求二面角CPEA??的余弦值；
⑶若四棱锥PABCD?的体积为4，求AF的长．
F
E
D
C
B
A
P
高考数学研究QQ群305203503120分基础大题训练2/5
17．某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收
入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为
保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路
2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．
统计信息
汽车行驶
路线
不堵车的情况
下到达所
需时间
（天）
堵车的情况下
到达所需
时间（天）
堵车的概率运费（万元）
公路1231101.6
公路21[4120.8
⑴记汽车走公路1时公司获得的毛利润为?（万元），求?的分布列和数学期望E?；
⑵假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
（注：毛利润?销售收入?运费）
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【点评】⑴2213()cos2sin2sincos
22fxxxxx????
13πcos2sin2cos2sin2226xxxx???????????，
∴最小正周期2ππ
2T??
．
由ππ2π()
62xkk????Z
，得ππ()
23kxk???Z
函数图象的对称轴方程为ππ()
23kxk???Z
⑵222πππ11()[()]()sin2sin2sin2
66624gxfxfxxxx??????????????????????????????????
当π1sin2
62x?????????
时，()gx取得最小值1
4?
；
当πsin21
6x????????
时，()gx取得最大值2，
所以()gx的值域为,2
4????????
．
【点评】⑴∵PA?平面ABCD，BC?平面ABCD
∴PABC?
∵90ABC???
∴BCAB?
∴BC?平面PAB
又E是AB中点，
∴PE?平面PAB
∴BCPE?．
⑵建立直角坐标系Axyz?，设1AB?
则1(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),,0,0
2BCPE??????
∴11(0,1,0),,0,1,,1,0
22BCEPEC????????????????
由⑴知，BC?平面PAE，
∴BC是平面PAE的法向量．
设平面PEC的法向量为(,,)nxyz?，
则0nEC??且0nEP??，
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∴11,,(2,1,1)
22yxzxn?????
．
∴6cos
6||||nBCnBC?????
，
二面角CPEA??的余弦值为6
6?
．
⑶连结AC，设ABa?，
3124322
PABCDaaaVaa????????
，∴2a?．
∵PAC△是直角三角形，
∴13
2AFPC??
．
【点评】⑴汽车走公路1时不堵车时获得的毛利润301.628.4????万元
堵车时公司获得的毛利润301.6127.4?????万元
∴汽车走公路1时获得的毛利润?的分布列为
?28.427.4
P910110
∴9128.427.428.3
1010E??????
万元
⑵设汽车走公路2时获得的毛利润为?万元
不堵车时获得的毛利润300.8130.2?????万元
堵车时的毛利润300.8227.2?????万元
∴汽车走公路2时获得的毛利润?的分布列为[
?30.227.2
P1212
∴1130.227.228.7
22E??????
万元
∴EE???
∴选择公路2可能获利更多．
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