高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练1/5
135分拔高大题训练3
导数大题12min,解析几何大题15min。
18.（本题满分13分）
已知函数1()ln(1)1xfxaxx?????（0x?，a为正实数）.
（Ⅰ）若1a?，求曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；
（Ⅲ）若函数()fx的最小值为1，求a的取值范围.
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19.（本题满分14分）
已知椭圆22:1(0)xyCabab????的离心率为12，直线l过点(4,0)A，(0,2)B，且
与椭圆C相切于点P.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得
23635APAMAN???若存在，试求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.
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（18）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当1a?时，1()ln(1)1xfxxx?????，
则
212()1(1)fxxx??????
.…………………………………………………2分
所以(1)0f??.又(1)ln2f?，因此所求的切线方程为ln2y?.…………4分
（Ⅱ）2
2222()1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx???????????
.…………………………5分
（1）当20a??，即2a?时，因为0x?，所以()0fx??，所以函数()fx在??0,??
上单调递增.…………………………………………………………………6分
（2）当20a??，即02a??时，令()0fx??，则220axa???（0x?），
所以2ax
a??
.
因此，当2[0,)ax
a??
时，()0fx??，当2(,)ax
a????
时，()0fx??.
所以函数()fx的单调递增区间为2(,)a
a???
，函数()fx的单调递减区间为
2[0,)aa?.…………………………………………………………………10分
（Ⅲ）当2a?时，函数()fx在??0,??上单调递增，则()fx的最小值为(0)1f?，
满足题意.…………………………………………………………………11分
当02a??时，由（Ⅱ）知函数()fx的单调递增区间为2(,)aa???，函数()fx
的单调递减区间为2[0,)aa?，则()fx的最小值为2()afa?，而(0)1f?，不
合题意.
所以a的取值范围是??2,??.…………………………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解:（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A，(0,2)B直线l的方程为240xy???.…………1分
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因为12ca?，所以2ac?，3bc?.
设椭圆方程为22143xycc??,
由22
22
240,
1,43
xy
xy
cc
?????
????
?
消去x得，224121230yyc????.
又因为直线l与椭圆C相切,所以221244(123)0c??????,解得21c?.
所以椭圆方程为22143xy??.………………………………………………5分
（Ⅱ）易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为(4)ykx??，……………………6分
由22(4),
1,43
ykx
xy
????
????
?
消去y，整理得2222(34)3264120kxkxk?????.…………7分
由题意知2222(32)4(34)(6412)0kkk??????，
解得1122k???.………………………………………………………………8分
设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则2
1223234kxxk???，
2
122641234kxxk???
.……9分
又直线:240lxy???与椭圆22:143xyC??相切，
由22240,
1,43
xy
xy
?????
????
?
解得31,2xy??，所以3(1,)2P.……………………………10分
则2454AP?.所以3645813547AMAN????.
又22221122(4)(4)AMANxyxy???????
2222221122(4)(4)(4)(4)xkxxkx????????
212(1)(4)(4)kxx????
21212(1)(4()16)kxxxx?????
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222
22641232(1)(416)3434kkkkk????????
2236(1).34kk???
所以2
23681(1)347kk???
，解得24k??.经检验成立.……………………13分
所以直线m的方程为2(4)4yx???.……………………………………14分
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