高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练1/4
135分拔高大题训练4
导数大题12min,解析几何大题15min。
（18）（本小题共13分）
已知函数32()23fxaxx??，其中0?a．
（Ⅰ）求证：函数)(xf在区间(,0)??上是增函数；
（Ⅱ）若函数??()()()(0,1)gxfxfxx????在0x?处取得最大值，求a的取值范围．
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（19）（本小题共13分）
已知椭圆)0(1
2
2
2
2????babyax的右焦点为)0,1(F，M为椭圆的上顶点，O为坐
标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形
三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
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（18）（共13分）
证明：（Ⅰ）)1(666)(2?????axxxaxxf．
因为0?a且0?x，所以0)(??xf．
所以函数)(xf在区间??0,??上是增函数．…………6分
（Ⅱ）由题意??32()2(63)6,0,1gxaxaxxx?????.
则22()62(63)66(21)1gxaxaxaxax?????????????.…………8分
令0)(??xg，即2(21)10axax????.①
由于0142????a，可设方程①的两个根为1x，2x，
由①得axx1
21??
，
由于，0?a所以021?xx，不妨设210xx??，
12()6()()gxaxxxx????．
当102??x时，)(2xg为极小值，
所以在区间??1,0上，()gx在0?x或1?x处取得最大值；
当2x≥1时，由于)(xg在区间??1,0上是单调递减函数，所以最大值为)0(g，
综上，函数)(xg只能在0?x或1?x处取得最大值．…………10分
又已知)(xg在0?x处取得最大值，所以)0(g≥)1(g，
即0≥98?a，解得a≤89，又因为0?a，
所以?a（89,0］．………13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得1?b，22??ba，
故椭圆方程为1222??yx．…………5分
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
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设),(11yxP，),,(22yxQ
因为)1,0(M，)0,1(F，故1?PQk．…………7分
于是设直线l的方程为mxy??，
由
???????,22,22yxmxy
得0224322????mmxx．
由0??，得32?m，且34
21mxx???
,3222
21??mxx
．……9分
由题意应有0??FQMP，又1122(,1),(1,)MPxyFQxy????，
故0)1()1(1221????yyxx，
得0)1)(()1(1221??????mxmxxx．
即0)1)((222121??????mmmxxxx．
整理得0)1(34322222???????mmmmm．
解得34??m或1?m．…………12分
经检验，当1?m时，△PQM不存在，故舍去1?m．
当34??m时，所求直线l存在，且直线l的方程为34??xy．
…………13分
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