高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练1/5
135分拔高大题训练10
导数大题12min,解析几何大题15min。
18.（本小题满分13分）
设函数
2e(),1
axfxaxR???.
（Ⅰ）当1a?时，求曲线()yfx?在点(0,(0))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数)(xf单调区间.
高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练2/5
19.（本小题满分14分）
已知椭圆22:1(0)xyCabab????的两个焦点分别为1(2,0)F?，2(2,0)F.点
(1,0)M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为(3,2)，点P的坐标为(,)(3)mnm?.过点M任作直线l与椭圆
C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为1k，2k，3k，若
1322kkk??，试求,mn满足的关系式.
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（18）（本小题满分13分）
解：因为
2e(),1
axfxx??所以2
22e(2)()(1)
axaxxafx
x?????
.
（Ⅰ）当1a?时,
2e()1
xfxx??,2
22e(21)()(1)
xxxfx
x?????
,
所以(0)1,f?(0)1f??.
所以曲线()yfx?在点(0,(0))f处的切线方程为10xy???.……………4分
（Ⅱ）因为22
2222e(2)e()(2)(1)(1)
axaxaxxafxaxxa
xx?????????
，……………5分
（1）当0a?时,由()0fx??得0x?；由()0fx??得0x?.
所以函数()fx在区间(,0)??单调递增,在区间(0,)??单调递减.……………6分
（2）当0a?时,设2()2gxaxxa???，方程2()20gxaxxa????的判别式
2444(1)(1),aaa??????……………7分
①当01a??时，此时0??.
由()0fx??得211axa???,或211axa???；
由()0fx??得221111aaxaa??????.
所以函数()fx单调递增区间是211(,)aa????和211(,)aa????,
单调递减区间221111(,)aaaa????.……………9分
②当1a?时，此时0??.所以()0fx??，
所以函数()fx单调递增区间是(,)????.……………10分
③当10a???时，此时0??.
由()0fx??得221111aaxaa??????；
高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练4/5
由()0fx??得211axa???,或211axa???.
所以当10a???时,函数()fx单调递减区间是211(,)aa????和211(,)aa????,
单调递增区间221111(,)aaaa????.……………12分
④当1a??时,此时0??，()0fx??，所以函数()fx单调递减区间是(,)????.
…………13分
（19）（本小题满分14分）
解:（Ⅰ）依题意，2c?，1b?，
所以223abc???.
故椭圆C的方程为2213xy??.……………4分
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由2
2
1,
13
x
xy
???
????
?
解得61,3xy???.
不妨设6(1,)3A，6(1,)3B?，
因为13
6622
33222kk??????，又1322kkk??，所以21k?，
所以,mn的关系式为213nm???，即10mn???.………7分
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)ykx??.
将(1)ykx??代入2213xy??整理化简得，2222(31)6330kxkxk?????.
设11(,)Axy，22(,)Bxy，则2
122631kxxk???
,2
1223331kxxk???
.………9分
又11(1)ykx??，22(1)ykx??.
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所以121221
13121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)yyyxyxkkxxxx???????????????
1221
1212
[2(1)](3)[2(1)](3)3()9kxxkxxxxxx???????????
1212
1212
2(42)()6123()9kxxkxxkxxxx?????????
22
22
3362(42)612
3131
33639
3131
kkkkk
kk
???????
???
????
??
2
22(126)2.126kk????
………12分
所以222k?，所以
2213nkm????
，所以,mn的关系式为10mn???.………13分
综上所述，,mn的关系式为10mn???.………14分
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