高考数学研究QQ群305203503135分基础大题训练1/5
135分拔高大题训练11
导数大题12min,解析几何大题15min。
18．已知函数3221()(1)(,)
3fxxaxaxbab??????R
⑴若1x?为()fx的极值点，求a的值；
⑵若()yfx?的图象在点(1,(1))f处的切线方程为30xy???，
①求()fx在区间[2,4]?上的最大值；
②求函数()[()(2)]()xGxfxmxmem???????R的单调区间．
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19．已知椭圆221(0)xyab
ab????
的离心率为6
3
．
⑴若原点到直线0xyb???的距离为2，求椭圆的方程；
⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45?的直线l和椭圆交于,AB两点．
i)当||3AB?，求b的值；
ii)对于椭圆上任一点M，若OMOAOB????，求实数,??满足的关系式．
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【点评】⑴22()21fxxaxa?????．
∵1x?是极值点，
∴(1)0f??，即220aa??．
∴0a?或2．
⑵∵(1,(1))f在30xy???上．∴(1)2f?
∵(1,2)在()yfx?上，∴2121
3aab?????
又(1)1f???，∴21211aa?????
∴2210aa???，解得81,
3ab??
∴22218(),()2
33fxxxfxxx??????
①由()0fx??可知0x?和2x?是()fx的极值点．
∵84(0),(2),(2)4,(4)8
33ffff??????
∴()fx在区间[2,4]?上的最大值为8．
②2()()xGxxmxme????
22()(2)()[(2)]xxxGxxmeexmxmexmx?????????????
令()0Gx??，得0,2xxm???
当2m?时，()0Gx?≤，此时()Gx在(,)????单调递减
当2m?时：
x(,2)m???2m?(2,0)m?0(0,)??
()Gx??0+0?
()Gx↘极小值↗极大值↘
此时()Gx在(,2)(0,)m?????上单调递减，在(2,0)m?上单调递增．
当2m?时：
x(,0)??0(0,2)m?2m?(2,)m???
()Gx??0+0?
()Gx↘极小值↗极大值↘
此时()Gx在(,0)(2,)m?????上单调递减，在(0,2)m?上单调递增，综上所述：
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当2m?时，()Gx在(,)????单调递减；
2m?时，()Gx在(,2)(0,)m?????单调递减，在(2,0)m?单调递增；
2m?时，()Gx在(,0)(2,)m?????单调递减，在(0,2)m?单调递增．
【点评】⑴∵2
2bd??
，∴2b?．
∵6
3cea??
，∴2
223ca?
．
∵222abc??，∴2224
3aa??
，解得2212,4ab??．
椭圆的方程为221
124xy??
．
⑵
i)∵6
3ca?
，∴2222223,2
3abcab???
，椭圆的方程可化为
22233xyb??…………①
易知右焦点(2,0)Fb，据题意有AB：2yxb??………②
由①，②有：2246230xbxb???…………③
设1122(,),(,)AxyBxy，
222222
212122724824||()()(11)23344bbbABxxyyb???????????
∴1b?
ii)显然OA与OB可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平
面内的向量OM，有且只有一对实数,??，使得等式OMOAOB????成立．
设(,)Mxy，
∵1122(,)(,)(,)xyxyxy????，∴1212,xxxyyy????????
又点M在椭圆上，∴2221212()3()3xxyyb????????……………④
由③有：2
1212323,24bbxxxx???
则222212121212121233(2)(2)432()63960xxyyxxxbxbxxbxxbbbb?????????????
……………⑤
又,AB在椭圆上，故有222222112233,33xybxyb????…………⑥
将⑥，⑤代入④可得：221????．
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