高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/5
135分拔高大题训练15
导数大题12min,解析几何大题15min。
（18）（本小题共14分）
已知抛物线C：24xy?，M为直线:l1y??上任意一点，过点M作抛物线C的两
条切线,MAMB，切点分别为A,B.
（Ⅰ）当M的坐标为(0,1)?时，求过,,MAB三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M.[来源:学§科§网Z§X§X§K]
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（19）（本小题共13分）
已知函数11()()lnfxaxxax????（1a?）．
（Ⅰ）试讨论()fx在区间(0,1)上的单调性；
（Ⅱ）当??3,a???时，曲线()yfx?上总存在相异两点11(,())Pxfx，22(,())Qxfx，
使得曲线()yfx?在点P，Q处的切线互相平行，求证：
1265xx??
.
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（18）（共14分）
（Ⅰ）解：当M的坐标为(0,1)?时，设过M点的切线方程为1ykx??，
由24,
1,xyykx??????
消y得2440xkx???.(1)
令2(4)440k?????，解得1k??.
代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)AB?.……………3分
设圆心P的坐标为(0,)a，由PMPB?，得12a??，解得1a?.
故过,,MAB三点的圆的方程为22(1)4xy???．……………5分
（Ⅱ）证明：设0(,1)Mx?，由已知得24xy?，12yx??，设切点分别为21
1(,)4xAx
，
22
2(,)4xBx
，所以12
MAxk?
，22
MBxk?
，
切线MA的方程为211
1()42xxyxx???
即2
111124yxxx??
，
切线MB的方程为222
2()42xxyxx???
即2
221124yxxx??
．…………7分
又因为切线MA过点0(,1)Mx?，所以得2
01111124xxx???
.①
又因为切线MB也过点0(,1)Mx?，所以得2
02211124xxx???
.②
所以1x，2x是方程2
011124xxx???
的两实根，
由韦达定理得1202,xxx??124xx??．……………9分
因为21
10(,1)4xMAxx???，
22
20(,1)4xMBxx???，
所以2212
1020()()(1)(1)44xxMAMBxxxx???????
2222212
120120121()()1164xxxxxxxxxx????????
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222212
12012012121()()21164xxxxxxxxxxxx?????????????
．
将1202,xxx??124xx??代入，得0MAMB??.……………13分
所以以AB为直径的圆恒过点M．……………14分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：由已知0x?，
2
222
111()1()()1
()1axaxxaxaaafxxxxx??????????????.………2分
由()0fx??，得
11xa?
，2xa?.………4分
因为1a?，所以101a??,且1aa?．
所以在区间1(0,)a上，()0fx??；在区间1(,1)a上，()0fx??.
故()fx在1(0,)a上单调递减，在1(,1)a上单调递增．……………6分
（Ⅱ）证明：由题意可得，当??3,a???时，12()()fxfx???（12,0xx?，且12xx?）.
即
221122
1111
11aaaaxxxx???????，
所以12
1212
111xxaaxxxx?????，??3,a???.……………8分
因为12,0xx?，且12xx?，所以212
12()2xxxx??
恒成立，
所以
2121214()xxxx??
，又120xx??，
所以12
12
1xxaaxx???
12
4xx??，整理得
12
41xx
aa???
.……………11分
令()ga4
1aa??
，因为??3,a???，所以()ga在??3,??上单调递减，
所以()ga?4
1aa?
在??3,??上的最大值为6(3)5g?，
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所以
1265xx??
.……………13分
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