高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/5
135分拔高大题训练16
导数大题12min,解析几何大题15min。
18．（本小题满分13分）
已知抛物线24yx?的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若2AFFB?，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面
积的最小值．
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19．（本小题满分14分）
已知函数2
221()1axafxx????
，其中a?R．
（Ⅰ）当1a?时，求曲线()yfx?在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求)(xf的单调区间；
（Ⅲ）若)(xf在[0,)??上存在最大值和最小值，求a的取值范围．
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18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意(1,0)F，设直线AB方程为1xmy??．………………1分
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得2440ymy???．…………3分
设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以124yym??，124yy??．①………………4分
因为2AFFB?，
所以122yy??．②………………5分
联立①和②，消去12,yy，得24m??．………6分
所以直线AB的斜率是22?．………………7分
（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到
直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2AOBS?．………………9分
因为
12122||||2AOBSOFyy??????
………………10分
221212()441yyyym?????，………………12分
所以0m?时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．………………13分
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：当1a?时，
22()1xfxx??
，
22(1)(1)()2(1)xxfxx??????
．………………2分
由(0)2f??，得曲线()yfx?在原点处的切线方程是20xy??．…………3分
（Ⅱ）解：
2()(1)()21xaaxfxx??????
．………………4分
①当0a?时，
22()1xfxx???
．
所以()fx在(0,)??单调递增，在(,0)??单调递减．………………5分
当0a?，
2
1()()
()21xaxafxax??????．
A
B
C
O
M
x
y
F
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②当0a?时，令()0fx??，得1xa??，
21xa?
，()fx与()fx?的情况如下：
故)(xf的单调减区间是(,)a???，1(,)a??；单调增区间是1(,)aa?．………7
分
③当0a?时，()fx与()fx?的情况如下：
所以()fx的单调增区间是1(,)a??；单调减区间是1(,)aa??，(,)a???．
………………9分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，0a?时不合题意．………………10分
当0a?时，由（Ⅱ）得，)(xf在1(0,)a单调递增，在1(,)a??单调递减，所以)(xf
在(0,)??上存在最大值21()0faa??．
设0x为)(xf的零点，易知2
012axa??
，且
01xa?
．从而0xx?时，()0fx?；0xx?
时，()0fx?．
若)(xf在[0,)??上存在最小值，必有(0)0f?，解得11a???．
所以0a?时，若)(xf在[0,)??上存在最大值和最小值，a的取值范围是(0,1]．
………………12分
当0a?时，由（Ⅱ）得，)(xf在(0,)a?单调递减，在(,)a???单调递增，所以)(xf
在(0,)??上存在最小值()1fa???．
若)(xf在[0,)??上存在最大值，必有(0)0f?，解得1a?，或1a??．
x1(,)x??1x12(,)xx2x2(,)x??
()fx??0?0?
()fx↘1()fx↗2()fx↘
x2(,)x??2x21(,)xx1x1(,)x??
()fx??0?0?
()fx↗2()fx↘1()fx↗
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所以0a?时，若)(xf在[0,)??上存在最大值和最小值，a的取值范围是(,1]???．
综上，a的取值范围是(,1](0,1]???．………………14分
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