高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/6
135分拔高大题训练17
导数大题12min,解析几何大题15min。
(18)（本小题满分13分）
已知椭圆C:221(0)xyabab????的右焦点为(1,0)F，且点2(1,)2?在椭圆C上.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点.试问x轴上是否存在定点Q，使
得716QAQB???恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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(19)（本小题满分14分）
已知函数21()ln()(0)2fxaxaxxa?????.
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）若12(ln21)a????，求证：函数()fx只有一个零点0x，且012axa????；
（Ⅲ）当45a??时，记函数()fx的零点为0x，若对任意120,[0,]xxx?且211,xx??都
有21()()fxfxm??成立，求实数m的最大值.
（本题可参考数据：99ln20.7,ln0.8,ln0.5945???）
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(18)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意知：1c.
根据椭圆的定义得：22222(11)()a，即2a.
……………………………………3分
所以2211b.
所以椭圆C的标准方程为2212xy??.……………………………………4分
（Ⅱ）假设在x轴上存在点(,0)Qm，使得716QAQB???恒成立.
当直线l的斜率为0时，(2,0),(2,0)AB?.
则7(2,0)(2,0)16mm.
解得54m.……………………………………6分
当直线l的斜率不存在时，22(1,),(1,)AB?.
由于52527(1,)(1,)424216，所以54m.
下面证明54m时，716QAQB???恒成立.
……………………………………8分
显然直线l的斜率为0时，716QAQB???.
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：1xty，1122,,,AxyBxy.
由221,2
1
xy
xty
可得：22(2)210tyty.
显然0?.
122
122
2,
2
1.
2
tyy
t
yyt
……………………………………10分
因为111xty，221xty，
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所以
112212125511(,)(,)()()4444xyxytytyyy
2
121211(1)()416tyytyy
2
221121(1)24216ttttt
22
222172(2)1616ttt
.
综上所述：在x轴上存在点5(,0)4Q，使得716QAQB???恒成立.
……………………………………13分
(19)（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：()fx的定义域为(,)a??.
2(1)''()1axaxfxxxaxa?????????.……………………………………1分
令''()0fx?，0x?或+1xa?.
当10a???时，+10a?，函数()fx与''()fx随x的变化情况如下表：
x(,0)a0(0,1)a?1a?(1,)a???
()fx?0?0?
''()fx极小值极大值
所以，函数()fx的单调递增区间是(0,1)a，单调递减区间是(,0)a和(1,)a.
……………………………………3分
当1a时，2''()01xfxx????.所以，函数()fx的单调递减区间是(1,).
……………………………………4分
当1a??时，+10a?，函数()fx与''()fx随x的变化情况如下表：
x(,1)aa?1a?[来源:学|科|网Z|X|X|K](1,0)a?0(0,)??
()fx?0?0?
''()fx[来源:学,科,网]极小值极大值
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所以，函数()fx的单调递增区间是(1,0)a，单调递减区间是(,1)aa和(0,).
……………………………………5分
（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a?????时，由（Ⅰ）知，()fx的极小值为(0)f，极大值
为(1)fa?.
因为(0)ln()0faa???，2211(1)(1)(1)(1)022faaaa?????????，且()fx
在(1,)a上是减函数，
所以()fx至多有一个零点.……………………………………7分
又因为211(2)ln2[2(ln21)]0
22faaaaaa?????????
，
所以函数()fx只有一个零点0x，且012axa????.
……………………………………9分
（Ⅲ）解：因为412(ln21)
5?????
，
所以对任意120,[0,]xxx?且211,xx??由(Ⅱ)可知：1[0,1)xa??，
20(1,]xax??，且21x?.……………………………………10分
因为函数()fx在[0,1)a上是增函数，在(1,)a上是减函数，
所以1()fx(0)f?，2()fx(1)f?.……………………………………11分
所以12()()(0)(1)fxfxff.
当4
5a??
时，1(0)(1)ln()
12affaa????
=491ln
542?
>0.
所以12()()(0)(1)0fxfxff.……………………………………13分
所以
21()()fxfx?
的最小值为491(0)(1)ln
542ff???
.
所以使得
21()()fxfxm??
恒成立的m的最大值为491ln
542?
.
……………………………………14分
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