高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/4
135分拔高大题训练18
导数大题12min,解析几何大题15min。
18．（本小题满分13分）
已知xxxgexxaxxfln)(],,0(,ln)(????，其中e是自然常数，Ra?．
（Ⅰ）讨论1?a时，()fx的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2fxgx??；
（Ⅲ）是否存在实数a，使()fx的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理
由．
高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练2/4
19．（本小题满分14分）
已知：椭圆1
2
2
2
2??byax（0??ba），过点)0,(aA?，),0(bB的直线倾斜角为
6?，原点到该直线的距离为23．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(?D与椭圆交于E，F两点，若DFED2?，求直线EF
的方程；
（Ⅲ）是否存在实数k，直线2??kxy交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点
)0,1(?D？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练3/4
解：（Ⅰ）?xxxfln)(??，xxxxf111)(?????
∴当10??x时，/()0fx?，此时()fx单调递减
当ex??1时，/()0fx?，此时()fx单调递增
∴()fx的极小值为1)1(?f-----------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）?()fx的极小值为1，即()fx在],0(e上的最小值为1，
∴0)(?xf，min()1fx?……5分
令21ln21)()(????xxxgxh，xxxhln1)(???，
当ex??0时，0)(??xh，()hx在],0(e上单调递增
∴
minmax|)(|12121211)()(xfeehxh???????
∴在（1）的条件下，1()()2fxgx??------------------------------------------------8分
（Ⅲ）假设存在实数a，使xaxxfln)(??（],0(ex?）有最小值3，/1()fxax??xax1??
①当0?a时，)(xf在],0(e上单调递减，31)()(min????aeefxf，ea4?（舍去），
所以，此时)(xf无最小值.
②当ea??10时，)(xf在)1,0(a上单调递减，在],1(ea上单调递增
3ln1)1()(min????aafxf，2ea?，满足条件.
③当ea?1时，)(xf在],0(e上单调递减，31)()(min????aeefxf，ea4?（舍去），
所以，此时)(xf无最小值.
综上，存在实数2ea?，使得当],0(ex?时()fx有最小值3.---------------------13分
解：（Ⅰ）由33?ab，22232121baba?????，得3?a，1?b，
所以椭圆方程是：1322??yx---------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）设EF：1??myx（0?m）代入1322??yx，得022)3(22????myym，
设),(11yxE，),(22yxF，由DFED2?，得212yy??．
高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练4/4
由32
2221?????mmyyy
，322
22221?????myyy
----------------------------6分
得31)32(
222????mmm
，1??m，1??m（舍去），（没舍去扣1分）
直线EF的方程为：1??yx即01???yx----------------------------------------9分
（Ⅲ）将2??kxy代入1322??yx，得0912)13(22????kxxk（）
记),(11yxP，),(22yxQ，PQ为直径的圆过)0,1(?D，则QDPD?，即
0)1)(1(),1(),1(21212211????????yyxxyxyx，又21??kxy，
222??kxy，得01314125))(12()1(221212??????????kkxxkxxk．
解得67?k，此时（）方程0??，
?存在67?k，满足题设条件．------------------------------------------------------14分
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