高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/6
135分拔高大题训练21
导数大题12min,解析几何大题15min。
18.（本小题满分13分）
已知函数1()()2ln()fxaxxa
x????R
．
（Ⅰ）若2a?，求曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；
（Ⅲ）设函数()agx
x??
．若至少存在一个0[1,e]x?，使得00()()fxgx?成立，求实数a的
取值范围．
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19.（本小题满分14分）
已知点A是椭圆??22:109xyCtt???的左顶点，直线:1()lxmym???R与椭圆
C相交于,EF两点，与x轴相交于点B.且当0m?时，△AEF的面积为163.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AE，AF与直线3x?分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是
否经过点B？并请说明理由.
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（18）（本小题满分13分）
解：函数的定义域为??0,??，
2
22122()(1)axxafxaxxx???????
．…………………………………………………1分
（Ⅰ）当2a?时，函数1()2()2lnfxxx
x???
，(1)0f?，(1)2f??．
所以曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程为02(1)yx???，
即220xy???．………………………………………………………………………3分
（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)??．
（1）当0a?时，2()20hxaxxa????在(0,)??上恒成立，
则()0fx??在(0,)??上恒成立，此时()fx在(0,)??上单调递减．……………4分
（2）当0a?时，244a???，
（ⅰ）若01a??，
由()0fx??，即()0hx?，得211axa???或211axa???；………………5分
由()0fx??，即()0hx?，得221111aaxaa??????．………………………6分
所以函数()fx的单调递增区间为211(0,)aa??和211(,)aa????，
单调递减区间为221111(,)aaaa????．……………………………………7分
（ⅱ）若1a?，()0hx?在(0,)??上恒成立，则()0fx??在(0,)??上恒成立，此时()fx
在(0,)??上单调递增．………………………………………………………………8分
（Ⅲ））因为存在一个0[1,e]x?使得00()()fxgx?，
则002lnaxx?，等价于0
0
2lnxax?.…………………………………………………9分
令2ln()xFxx?，等价于“当??1,ex?时，??minaFx?”.
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对()Fx求导，得
22(1ln)()xFxx???
.……………………………………………10分
因为当[1,e]x?时，()0Fx??，所以()Fx在[1,e]上单调递增.……………12分
所以min()(1)0FxF??，因此0a?.…………………………………………13分
另解：
设??????2lnFxfxgxaxx????，定义域为??0,??，
??22axFxaxx?????.
依题意，至少存在一个0[1,e]x?，使得00()()fxgx?成立，
等价于当??1,ex?时，??max0Fx?.………………………………………9分
（1）当0a?时，
??0Fx??在??1,e恒成立，所以??Fx在??1,e单调递减，只要
????max10FxFa???，
则不满足题意.……………………………………………………………………10分
（2）当0a?时，令??0Fx??得2xa?.
（ⅰ）当201a??，即2a?时，
在??1,e上??0Fx??，所以??Fx在??1,e上单调递增，
所以????maxee2FxFa???，
由e20a??得，2ea?，
所以2a?.……………………………………………………………………11分
（ⅱ）当2ea?，即20ea??时，
在??1,e上??0Fx??，所以??Fx在??1,e单调递减，
所以????max1FxFa??，
由0a?得20ea??.…………………………………………………………………12分
（ⅲ）当21ea??，即22ea??时，
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在2[1,)a上??0Fx??，在2(,e]a上??0Fx??，
所以??Fx在2[1,)a单调递减，在2(,e]a单调递增，
??max0Fx?，等价于??10F?或??e0F?，解得0a?，
所以，22ea??.
综上所述，实数a的取值范围为(0,)??.………………………………………13分
（19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当0m?时，直线l的方程为1x?，设点E在x轴上方，
由221,9
1
xy
t
x
????
??
??
解得2222(1,),(1,)33ttEF?,所以423tEF?.
因为△AEF的面积为142164233t???，解得2t?.
所以椭圆C的方程为22192xy??.…………………………………………………4分
（Ⅱ）由221,92
1
xy
xmy
????
??
???
得22(29)4160mymy????，显然m?R.…………………5分
设1122(,),(,)ExyFxy,
则
121222416,2929myyyymm???????
，………………………………………………6分
111xmy??,221xmy??.
又直线AE的方程为1
1(3)3
yyxx???，由11(3),3
3
yyx
x
x
????
???
??
解得1
1
6(3,)3yMx?，
同理得2
2
6(3,)3yNx?.所以1266(2,),(2,)33yyBMBNxx????,……………………9分
又因为12
12
66(2,)(2,)33yyBMBNxx?????
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1212
1212
363644(3)(3)(4)(4)yyyyxxmymy????????
12122
1212
4(4)(4)364()16mymyyymyymyy???????
222
2216(436)164164(29)3216(29)mmmmm???????????
22264576641285769mmm??????0?.…………………………13分
所以BMBN?,所以以MN为直径的圆过点B.…………………………………14分
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