高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/5
135分拔高大题训练22
导数大题12min,解析几何大题15min。
（18）（本小题共13分）
已知a?R，函数()ln1afxxx???．
（Ⅰ）当1a?时，求曲线()yfx?在点(2,(2))f处的切线方程；
（Ⅱ）求()fx在区间??0,e上的最小值．
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（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(30)?，，(30)，的距离之和等于4，设
点P的轨迹为曲线C，直线l过点(1,0)E?且与曲线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明
理由.
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（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当1a?时，1()ln1fxxx???，),0(???x，
所以
22111()xfxxxx??????
，),0(???x.………………………………2分
因此1(2)4f??．
即曲线)(xfy?在点(2,(2))f处的切线斜率为14.…………………………4分
又1(2)ln22f??，
所以曲线)(xfy?在点(2,(2))f处的切线方程为11(ln2)(2)24yx????，
即44ln240xy????．……………………………………………6分
（Ⅱ）因为()ln1afxxx???，所以
221()axafxxxx??????
．
令()0fx??，得xa?．……………………………………………8分
①若a≤0，则()0fx??，??fx在区间??0,e上单调递增，此时函数()fx无最小值．
②若0ea??，当??0,xa?时，()0fx??，函数??fx在区间??0,a上单调递减，
当??,exa?时，()0fx??，函数??fx在区间??,ea上单调递增，
所以当xa?时，函数()fx取得最小值lna．………………………………10分
③若ea≥，则当??0,ex?时，()0fx?≤，函数??fx在区间??0,e上单调递减，
所以当ex?时，函数()fx取得最小值ea．…………………………………12分
综上可知，当a≤0时，函数??fx在区间??0,e上无最小值；
当0ea??时，函数??fx在区间??0,e上的最小值为lna；
当ea≥时，函数??fx在区间??0,e上的最小值为ea．……………13分
（19）（共13分）
解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(30)?，，(30)，为焦点，长半轴长为2
的椭圆．……………………………………………………………………………3分
故曲线C的方程为2214xy??．…………………………………………………5分
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（Ⅱ）存在△AOB面积的最大值.…………………………………………………6分
因为直线l过点(1,0)E?，可设直线l的方程为1xmy??或0y?（舍）．
则221,4
1.
xy
xmy
????
????
?
整理得22(4)230mymy????．…………………………………7分
由22(2)12(4)0mm?????．
设1122()()AxyBxy，，，．
解得2
12234mmym????
，2
22234mmym????
．
则2
21243||4myym????
．
因为
1212AOBSOEyy????
2
22
2
23214
33
mm
mm
????
???
．………………………10分
设1()gttt??，23tm??，3t?．
则()gt在区间[3,)??上为增函数．
所以43()3gt?．
所以32
AOBS??
，当且仅当0m?时取等号，即
max3()2AOBS??
．
所以AOBS?的最大值为32．………………………………………………………………13分
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