高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练1/6
135分拔高大题训练23
导数大题12min,解析几何大题15min。
18.（本小题满分13分）
已知函数e().1axfxx??
（I）当1a?时,求曲线()fx在(0,(0))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间.
高考数学研究QQ群305203503135分拔高大题训练2/6
19.（本小题满分14分）
已知??2,2E是抛物线2:2Cypx?上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于,AB
两点（不同于点E），直线,EAEB分别交直线2x??于点,MN.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：MON?为定值.
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18.（本小题满分13分）
解：当1a?时，e()
1axfxx??
，
2e(2)''()(1)
xxfxx???………………2分
又(0)1f??，''(0)2f??，
所以()fx在(0,(0))f处的切线方程为21yx???………………4分
（II）
2e[(1)]''()(1)
axaxafx
x????
当0a?时，
21''()0(1)fxx????
又函数的定义域为{|1}xx?
所以()fx的单调递减区间为(,1),(1,)????………………6分
当0a?时，令''()0fx?，即(1)0axa???，解得1axa??………………7分
当0a?时，11axa???，
所以()fx?，()fx随x的变化情况如下表
x(,1)??11(1,)aa?1aa?1(,)aa???
''()fx?无定义?0?
()fx极小值
所以()fx的单调递减区间为(,1)??，1(1,)aa?，
单调递增区间为1(,)aa???………………10分
当0a?时，11axa???
所以()fx?，()fx随x的变化情况如下表：
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x1(,)aa???1aa?1(,1)aa?11(,)aa???
''()fx?0?无定义?
()fx极大值
所以()fx的单调递增区间为1(,)aa???，
单调递减区间为1(,1)aa?，(1,)??………………13分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）将??2,2E代入22ypx?，得1p?
所以抛物线方程为22yx?，焦点坐标为1(,0)2………………3分
（Ⅱ）设21
1(,)2yAy
，22
2(,)2yBy
，(,),(,)MMNNMxyNxy，
法一：
因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率
设直线l方程为(2)ykx??
与抛物线方程联立得到
2
(2)2ykxyx?????
?
，消去x，得：
2240kyyk???
则由韦达定理得：
121224,yyyyk????
………………6分
直线AE的方程为：??
12
1
222
22
yyx
y
????
?
，即??
1
2222yxy????，
令2x??，得1
1
242Myyy???……9分
同理可得：2
2
242Nyyy???………………10分
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又4(2,),(2,)
mmOMyONy?????
，
所以12242444
22MNyyOMONyy??????????
1212
1212
4[2()4]4[2()4]yyyyyyyy????????
44(44)
44
4(44)
k
k
???
??
???
0?………………13分
所以OMON?，即MON?为定值π2………………14分
法二：
设直线l方程为2xmy??
与抛物线方程联立得到
2
22xmyyx?????
?
，消去x，得：
2240ymy???
则由韦达定理得：
12124,2yyyym????
………………6分
直线AE的方程为：??
12
1
222
22
yyx
y
????
?
，即??
1
2222yxy????，
令2x??，得1
1
242Myyy???………………9分
同理可得：2
2
242Nyyy???………………10分
又4(2,),(2,)
mmOMyONy?????
，
124(2)(2)44(2)(2)MNyyOMONyy?????????
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1212
1212
4[2()4]4[2()4]yyyyyyyy????????
4(424)4
4(424)mm????????
0?………………12分
所以OMON?，即MON?为定值π2………………13分
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