函数——（1）
高端视野：映射
1．映射的定义
设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B
中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作.:BAf?
（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这
两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.
（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.
（3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的对应法则f，三者缺一不可.
（4）对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B中的每
一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.
2．一一映射
一般地，设A、B是两个集合，.:BAf?是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，
对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么
个这个映射叫做A到B上的一一映射.
3．逆映射
如果f是A与B之间的一一对应，那么可得B到A的一个映射g：任给Bb?，规定
abg?)(，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f—1.
显然有（f—1）—1=f，即
如果f是A与B之间的一一对应，则f—1是B与A之间的一一对应，并且f—1的逆映射是f.
事实上，f—1是B到A的映射，对于B中的不同元素b1和b2，由于它们在f下的原象不同，
所以b1和b2在f—1下的像不同，所以f—1是1－1的.
任给bafAa??)(,设，则abf??)(1.这说明A中每个元素a在f—1都有原象.因此，f—1
是映射上的.
这样即得f—1是B到A上的1－1映射，即f—1是B与A之间一一对应.从而f—1有逆映射
.:BAh?由于任给bahAa??)(,设，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b)=a，所以，
f(a)=b，从而fhafbah???得),()(，这即是f—1的逆映射是f.
【练1】（2010海淀二模文14）给定集合{1,2,3,...,}nAn?，n?N．若f是nnAA?的映
射，且满足：
⑴任取,,nijA?若ij?，则()()fifj?；
⑵任取,nmA?若2m≥，则有m{(1),(2),..,()}fffm?．
则称映射f为nnAA?的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：33AA?是一个“优映射”．
⑴已知f：44AA?是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条
件的映射）；
⑵若f：20102010AA?是“优映射”，且(1004)1f?，则(1000)(1007)ff?的最大
值为___．
【练2】已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50}，若从A到B的映射
f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有
()
(A)50100C(B)5090C(C)49100C(D)4999C
【练3】(2011丰台一模20)（本小题共13分）
已知123{(,,,,)nnSAAaaaa??，0i?或1，1,2,,}in?(2)n?，对于
,nUVS?，(,)dUV表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U?，存在m个5VS?，使得(,)2dUV?，写出m的值；
（Ⅱ）令
0(0,0,0,,0)nW?个
，若,nUVS?，求证：(,)(,)(,)dUWdVWdUV??；
（Ⅲ）令123(,,,,)nUaaaa?，若nVS?，求所有(,)dUV之和．
表1
i123
()fi231
表2
i1234
()fi3
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