函数——（17）
高端视野：双曲函数
1.双曲正弦函数
2xxeeshx???
性质：①定义域R②值域：R
③奇偶性：奇函数，图像关于原点对称
④单调性：单增区间：??,????
⑤凹凸性：在??,0??上凸，在??0,??上凹。
⑥渐近线：当x??时，它的图形在第一象限内接近于曲线12xye?在第三象限内接近
于曲线12xye??
⑦反函数：2ln(1)yxx???定义域R
2、双曲余弦函数
2
xxeechx???
性质:①定义域R②值域：[1,+∞).
③奇偶性：偶函数，图像关于y轴对称
④单调性：单增区间：??0,??单减区间：??,0??
⑤凹凸性：在??,????上凹。
⑥渐近线：当x??时，它的图形在第一象限内接近于曲线12xye?在第二象限内接近
于曲线12xye??
⑦反函数：2ln(1)yxx???定义域：[1,+∞).
3、双曲正切函数
xx
xx
eethx
ee
?
?
??
?
性质：①定义域：R.
②值域：(-1,1).
③奇偶性：奇函数.
④单调性：函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线
⑤渐近线：其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间
⑥反函数：11ln21xyx???定义域??1,1?
4、恒等式（自己证明）
①221chxshx??
②22shxshxchx?
③222222121chxshxchxchxshx??????
④??shxyshxchychxshy???
5、双曲函数的导数
????'''',shxchxchxshx??
【练1】（2010高考）函数xxeey
ee?????
的图像大致为（)
【练2】（2009海淀二模文14）
如图1，有一条长度为2π的铁丝AB，先将铁丝围成一个圆，使两端点A、B恰
好重合（如图2），再把这个圆放在平面直角坐标系中，点A的坐标为??03，，圆
心为??02C，，铁丝AB上有一动点M，且图1中线段AMm?，在图形变化过
程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的弧ADM的长度．图3中线段AM所
在直线与x轴交点为??0Nn，，当πm?时，n等于_____；当π5π
23m???????，
时，则
图3中线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是_________．
【练3】（2011年上学期北师大实验高三摸底考试理14）
设()fn是对一切正整数n有定义的函数，且(1)1f?，()(1)kfn??（1n?，k是n
的素约数的个数）．令()()
dnFnfd??
（其中dn表示d是n的约数，上式表示对n的
一切约数d的函数()fd求和），则(9)F?________；(2011)F?________．
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
图2图3图1
A
O
MB
A(B)
y
xN
M
M
A
m0
D
2π
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