函数——（23）
高端视野:柯西中值定理
定理：在某一极限过程中设函数f(x)，g(x)满足：
1）在闭区间[a,b]上连续；
2）在开区间(a,b)内可导；
3）对任一x?(a,b)有)(''xg?0，
则存在??(a,b)，使得
)()()()(agbgafbf??
=
)()(''
''
??gf
证明：做辅助函数F(x)=
)()()()]()([)(bgagxgbfafxf???
显然，F(a)=F(b)=
)()()()()()(agbgagbfbgaf??
由罗尔中值定理知：存在??(a,b)，使得F''(?)=0
故F''(?)=
)()()()]()([-)(f
''''
bgaggbfaf????
=0
即
)()(''
''
??gf
=
)()()()(bgagbfaf??
命题得证。
柯西中值定理的几何意义
若令u=f(x)，v=g(x),a?x?b，这个形式可以理解为参数方程，而
)()()()(agbgafbf??
则是连接参数曲线的端点斜率，而
)()(''
''
??gf
表示曲线上某点处的切线斜率，在定理
的条件下，可以理解为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于
两端点所在的弦。
柯西中值定理的几何意义
曲线由参数方程
给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，
则上存在一点P处的切线平行于割线.。
注意曲线AB在点处的切线的斜率为
，
而弦的斜率为.
【练1】设在（a，b）可导，且在[a，b]上严格递增，若，
证明则对一切有。
【练2】设()fx在[,]ab上连续,(,)ab内可导(0),ab??()(),fafb?
证明:,(,)ab????使得()().
2abff???????
(1)
【练3】已知函数)(xf在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，ba??0
证明存在),(,ba???，使)()()(3/22/2???fbabaf???
【练4】设)(xf在ax?时连续，0)(?af，当ax?时，0)(/??kxf，则在
))(,(kafaa?内0)(?xf有唯一的实根
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