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函数——（27）
高端视野:函数应用
★知识梳理
1．我们学习过的基本初等函数主要有：一次函数、二次函数、正（反）比例函数、三
角函数、指数函数、对数函数、幂函数等，我们要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利
用它们来解决一些非基本函数的问题。
2．用基本初等函数解决非基本函数问题的途径：
（1）化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题；
（2）图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得
到的，如果搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数的问题。
3．函数的性质主要：周期性、有界性、单调性、奇偶性等，灵活运用这些性质，可以
解决方程、不等式方面的不少问题。
4．在解决某些应用问题时，通常要用到一些函数模型，它们主要是：一次函数模型、
二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数
模型等。
★重、难点突破
重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读
理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。
难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。
重难点：1．常见函数模型的理解
（1）直线模型，即一次函数模型，其增长特点是直线上升（x的系数0?k），通过
图象可很直观地认识它。
（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增
大，函数值增大的速度越来越快)1(?a，常形象地称之为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增
长得较快)1(?a，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。
（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随nx中n的取值变化
而定，常见的有二次函数模型。
（5）“对勾”函数模型：形如)0,0()(????xaxaxxf的函数模型，在现实生活
中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
2．构建函数模型的基本步骤
（1）审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择数学模型；
（2）建模：将文字语言、图形（或者数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立
相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义
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【题1】（2010北京理14）
如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点
(,)Pxy的轨迹方程是()yfx?，则函数()fx的最小正周期
为_____；()yfx?在其两个相邻零点间的图象与x轴所围
区域的面积为_______．
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x
轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中
心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中
心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC沿x轴
负方向滚动．
【题2】(2012西城一模文科)如图，抛物线29yx???与x轴交于两点
,AB，点,CD在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记
||2CDx?，梯形ABCD面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式；
（Ⅱ）若||||CDkAB?，其中k为常数，且01k??，求S的最大值．
【题3】(海淀2014期中理科)如图，已知点(11,0)A，直线(111)xtt????与函数
1yx??的图象交于点P，与x轴交于点H，
记APH?的面积为()ft.
（I）求函数()ft的解析式；
（II）求函数()ft的最大值.
x
y
HAO
P
y
xO
C
B
A
P
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【题4】(2013海淀期中理科)如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有
一个角被锈蚀，其中4AE?米，6CD?米．为了合理利用这块
钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P
在边DE上．
（Ⅰ）设MPx?米，PNy?米，将y表示成x的函数，求该
函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．
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