集合是一门数学语言，你读懂了吗？——（1）
数学语言与日常语言不同“日常语言是习俗的产物,也是社会和政治运动的产物,而数学
语言是慎重地、有意义地而且经常是精心设计的.凭借数学语言的严密性和简洁性,数学家们
就可以表达和研究数学思想,这些思想如果用普通语言表达出来,就会显得冗长不堪.”例如表
示过坐标原点平分第一象限角的直线是纵坐标横坐标相等点的集合.
在高中阶段,学生正处在形成连贯逻辑思维的时期,培养学生清晰而有条理地表达自己的
数学思想,倾听别人的意见,养成分析习惯极为重要.他们应该学会正确使用数学符号和数学
语言,他们应善于与他人进行合作.集合教学提供了这样的机会.我想这就是集合的教育价
值。集合是高中数学教材中学生接触到的第一个概念，集合语言是一种基本的数学语言，学
生若能掌握好这章内容不仅能为今后的数学学习打下一个良好的基础而且可以增进学习数
学的信心。集合在高中课程中的定位是这样的，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合
语言可以简洁准确的表达数学中的一些内容。这里强调的数学中的一些内容，而不是全部内
容。我们任何一种语言，只有利于表达某些东西。那么高中数学只将集合作为一种语言来学
习，它把集合是作为一种语言，来描述和表达问题的一种语言来学习的。学生学会使用最基
本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用语言进行交流的能力。我认为在教学时应以这
一整体要求来把握集合的教学。集合作为一个数学的概念，对于数学中的分类思想，起了一
个促进的作用。集合主要是要把各种不同的事物能刻划清楚。为了搞清楚集合在整个课程中
的一个定位，我们应该搞清楚课程中的一个基本脉络。应该考虑与集合有联系的已学的内容
各将要学习的内容。
集合是高中数学中重要的数学语言.它贯穿于整个高中数学学习.例如：在数系中用来表
示自然数集、有理数集、实数集、复数集.几何图形是点的集合，函数是数的集合间的映射，
概率统计要涉及随机试验下可能出现结果的集合……在数学各部分内容的讨论中随处可见。
关于集合等内容的符号表示法，是整个高中数学各部分内容都要使用的基本数学符号语言。
高中数学教学对学生使用数学语言的要求比初中数学教学有明显的提高，即要求表达问题时
语言更准确、更简练、更规范。符号化是数学语言的一个显著特征，随着教学内容的不断扩
充和抽象性的加强，高中数学中要使用更多的符号和术语。
集合语言的学习和其他语言的学习一样，需要一个过程。例如，函数概念可以用描述性
语言直观表征（初中阶段），也可以用集合与对应的语言抽象表征（高中阶段），还可以用
更抽象的关系语言来表征（大学阶段）。这是与学生心理发展水平相适应的，因为“学习从
属于发展”。同时，数学概念可以在不同层次上得到表征，这也为螺旋上升地安排学习内容
提供了可能。作为一门语言，首先要掌握这种语言的表述方式和规则，其次要利用这门语言
来表述数学问题。这些内容的掌握是需要一个过程的。一方面，我们可以利用集合语言复习、
梳理已有的知识，用学生已有的知识作为学习集合的载体，比如：用集合表述自然数、整数、
一元一次不等式的解、方程和方程组的解等；另一方面，随着学习内容的不同，我们可以利
用这些内容作为巩固集合语言的载体，比如：可以从集合与元素的关系角度分析图像和图像
上点的关系；通过不等式的学习，深化学生对一维点集的认识；借助线性规划问题，深入体
会用集合刻画平面点集的简洁明了的特点；在概率教学中，用集合的观点帮助学生理解基本
事件和样本空间、用集合的观点把握事件之间的关系(互斥事件、独立事件)等等。
可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于
数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的
对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集
合的有关计算来研究和解决问题。
【例1】若X是一个集合，?是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于?，?
属于?；②?中任意多个元素的并集属于?；③?中任意多个元素的交集属于?．则
称?是集合X上的一个拓扑．已知集合??Xabc?，，，对于下面给出的四个集合?：
①{{}{}{}}acabc???，，，，，；
②{{}{}{}{}}bcbcabc???，，，，，，，；
③{{}{}{}}aabac???，，，，，；
④{{}{}{}{}}acbccabc???，，，，，，，，．
其中是集合X上的拓扑的集合?的序号是________．
【例2】设A是整数集的一个非空子集，对于kA?，如果1kA??，且1kA??，那么称k
是A的一个“孤立元”．给定??12345678S?，，，，，，，，由S的3个元素构成的
所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．
【例3】已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)nniSXXxxxxinn?????…，…
对于12(,,)nAaaa?…，12(,,)nnBbbbS??…，定义A与B的差为
1122(||,||,||)nnABababab?????…；
A与B之间的距离为
1(,)
n
iiidABab????
。
（Ⅰ）证明：,,,nnABCSABS????有，且(,)(,)dACBCdAB???;
（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)nABCSdABdACdBC??三个数中至少有一个是偶数；
(Ⅲ)设,nPSP?中有(2)mm?个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为
()dP，证明：()2(1)mndPm??.
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