北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）
数学（文科）试卷2014.4
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,则集合
A.B.C.D.
2.已知直线与直线平行，则实数的值为
A.B.C.D.
3.“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图
是一个直径为的圆，那么这个几何体的体积为
A.B.
C.D.
5.已知向量，，若与垂直，则实数
A.B.C.D.
6.执行如图所示的程序框图，若输入，
则输出的值是
A．B．C．D．
7.已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8.已知点在抛物线上，且点到直线的距离为，则点的个数为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.某学校有初中生人，高中生人，教师人，现采用分层抽样的方法，
从所有师生中抽取一个容量为的样本进行调查.如果从高中生中抽取人，则样本容量.
10.复数
11.双曲线的渐近线方程为
12.已知满足约束条件则的最小值为
13.在中，角所对的边分别为.若，，
则
14.数列的前项和为.若数列的各项按如下规则排列：
则若存在正整数，使，则
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的最小正周期及最大值.
16.（本小题共13分）
甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：
甲8677927278
乙7882888295
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；.
（Ⅱ）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；
（Ⅲ）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率.
17.（本小题共14分）
如图：已知长方体的底面是边
长为的正方形，高，为的中点，
与交于点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
18.（本小题共13分）
已知数列是公差为的等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为.
证明：.
19.（本小题共14分）
已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线（）与椭圆交于不同的两点、，且线段
的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.
20.（本小题共13分）
已知函数的图象在点处的切线方程为
.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设.
①若是上的增函数，求实数的最大值；
②是否存在点，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则
这两个封闭图形的面积总相等.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
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高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B A D D C 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分
9.；10．；11.；12．；13．；
14.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知函数
的图象过点，，————3分
解得————7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数———9分
最小正周期，———11分
最大值为.————13分
16.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）茎叶图
————3分
（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方
差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好.———6分
（Ⅲ）记事件A：甲的成绩比乙高
从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：
共25个.————9分
事件包含的基本事件有
共7个————11分
————13分
17．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）底面是边长为正方形，
底面，平面————3分
，平面——5分
（Ⅱ）连结，为的中点，为的中点
∥，————7分
又平面，平面
∥平面————10分
（Ⅲ），，，
同样计算可得，为等腰三角形，————12分
，，等腰三角形的高为
————14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知是公差为的等差数列，，又，————3分
————5分
（Ⅱ）————7分
————9分
，随的增大而增大，————11分
又————12分
.————13分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在轴上，，，
，，————2分
椭圆的方程为————4分
（Ⅱ），消去得————6分
直线与椭圆有两个交点，，可得（）————8分
设，
，中点的横坐标
中点的纵坐标————10分
的中点
设中垂线的方程为：
在上，点坐标代入的方程可得（）————12分
将（）代入解得或，
————14分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）时，
，————2分
在直线上，，即
————4分
，
（Ⅱ）①
是上的增函数，
，
在上恒成立，————6分
令则，
设，在上恒成立————7分
恒成立，，实数最大值为————9分
②由，
，————11分
表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，
而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称.
这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，
则这两个封闭图形面积相等.————13分（其它解法相应给分）.
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