北京市西城区2014年高三二模试卷
数学（文科）2014.5
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，集合，则（） （A） （B） （C） （D）
2．在复平面内，复数对应的点位于（） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是（） （A） （B） （C） （D） 4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）
（A），且
（B），且
（C），且
（D），且
5．设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．在△ABC中，，，，则（） （A） （B） （C） （D）
7.设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） （A） （B） （C） （D）
8.设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为.
如果是边长为1的正方形，那么的取值范围是（） （A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．．中，，，则公差_____；____.
10．的焦点为，为抛物线上一点，且点的横坐标为2，.
11．执行如图所示的程序框______．
12．中，不等式组所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是.从区域中随机取一点，则P为区域内的点的概率是_____．．沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体的体积的最大值是____.
14．上的一个映射，正整数数对在映射f下的象为实数z，记作.对于任意的正整数，映射由下表给出：
则__________，使不等式成立的x的集合是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．13分）
已知函数.
（Ⅰ）的最小正周期；
（Ⅱ）时，求函数的最大值和最小值.
16．13分）
为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：
A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.
B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.
（Ⅰ）分别（Ⅱ）14分）
如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的
个数，并说明理由.
18．13分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若，求函数的定义域和极值；
（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并证明.
19．14分）
设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆W相交于两点.
（Ⅰ）求的周长；
（Ⅱ）如果为直角三角形，求直线的斜率.
20．13分）
在无穷数列中，，对于任意，都有，.设，记使得成立的的最大值为.
（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；
（Ⅱ）若为等比数列，且，求的值；
（Ⅲ）若为等差数列，求出所有可能的数列.
北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学（文科）2014.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．．．．．．．．．10．．．．．
注：第9，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．13分）
（Ⅰ）
………………4分
，………………6分
所以函数的最小正周期为.………………7分
（Ⅱ），得.
所以，………………9分
所以，即.………11分
当，即时，函数取到最小值；…12分
当，即时，函数取到最大值.…………13分
16．13分）
（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为，…………2分
B班5名学生的视力平均数为.……………3分
从数据结果来看A班学生的视力较好.………………4分
（Ⅱ）．………………11分
所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有名，
则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6．………………13分
17．14分）
（Ⅰ）证明：在正方体中，
因为平面，平面，
所以平面平面.………………4分，，，连接.
因为为正方体，
所以，且，且是的中点，
又因为是的中点，
所以，且，
所以，且，
即四边形是平行四边形，
所以，………………6分
又因为平面，平面，
所以平面.………………9分
（Ⅲ）解：满足条件的点P有12个.………………12分
理由如下：
因为为正方体，，
所以.
所以.………………13分
在正方体中，
因为平面，平面，
所以，
又因为，
所以，
则点到棱的距离为，
所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于，
同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，
所以在正方体棱上使得的点有12个.………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：函数的定义域为，且.………………1分
.………………3分
令，得，
当变化时，和的变化情况如下：
↘ ↘ ↗ ………………4分
故的单调减区间为，；单调增区间为．时，函数有极小值.………………5分
（Ⅱ）解：结论：函数存在两个零点.
证明过程如下：
由题意，函数，
因为，
所以函数的定义域为.………………6分
求导，得，………………7分
令，得，，
当变化时，和的变化情况如下：
↗ ↘ ↗ 故函数的单调减区间为；单调增区间为，．时，函数有极大值；当时，函数有极小值.………………9分
因为函数在单调递增，且，
所以对于任意，.………………10分
因为函数在单调递减，且，
所以对于任意，.………………11分
因为函数在单调递增，且，，
所以函数在上仅存在一个，使得函数，…………12分
故函数存在两个零点（即和）.………………13分
19．14分）
（）解：椭圆的，左焦点，右焦点，…………分
，，
所以的周长为.………………5分为直角三角形，
所以，或，或，
当时，
设直线的方程为，，，………………6分
由得，………………7分
所以，.………………8分
由，得，………………9分
因为，，
所以
，……………10分
解得.………………11分
当（与相同）时，
则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，
由解得，或，………………13分
根据两点间斜率公式，得，
综上，直线的斜率，或时，为直角三角形.……………14分
20．13分）
（Ⅰ）解：，，.………………3分
（Ⅱ）解：因为为等比数列，，，
所以，………………4分
因为使得成立的的最大值为，
所以，，，，
，，………………6分
所以.………………8分
（Ⅲ）解：由题意，得，
结合条件，得.………………9分成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，.………………10分，则.
假设，即，
则当时，；当时，.
所以，.
因为为等差数列，
所以公差，
所以，其中.
这与矛盾，
所以.………………11分，
所以，
由为等差数列，得，其中.………………12分成立的的最大值为，
所以，
由，得.………………13分
高三数学（文）试题答案第12页共12页
正(主)视图
俯视图
侧(左)视图
4
1
4
1
1
1
开始
a=3,i=1
i>5
i=i+1
结束
输出a
是
否
AB
A1B1
DC
D1C1
O
E
AB
A1B1
DC
D1C1
O
E
G
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