北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模）
数学试卷（文科）2014.4
考生须知：
本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）对应的点位于
（A）（B）（C）第三象限 （D）第四象限
(2)已知等差数列中，，则的前10项和为
（A）（B）C） （D）
(3)在中，若，则的大小为
（A）（B）C） （D）
(4)已知命题使得；命题.则下列命题为真命题的是
（A）（B）C） （D）
(5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（A） （B）
（C） （D）
(6)下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是
（A）（B）C） （D）
(7)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.
若投资的时间为天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？
（A）（B）（C）方案三 （D）都可以
(8)已知，若恒成立，则的取值范围是
（A）（B）C） （D）
第二卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
(9)若直线与直线平行，则______.
(10)已知实数满足则的最小值为_____.
(11)已知双曲线的焦距为，一条渐近线的斜率为，则此双曲线的标准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____.
(12)执行右边的程序框图，若输入的N是，则输出p的值是中，，在矩形内随机取一点,则的概率为__________.
(14)在边长为2的菱形中，，若为的中点，则的值为____;若点为边上的动点，点是边上的动点，且，，，则的最大值为________.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）,.
（Ⅰ）求的最小正周期及值域；
（Ⅱ）求单调递增区间.
(16)(本小题满分13分)
某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）根据图中数据求的值
（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取
6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组
各抽取多少名新生？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
(17)(本小题满分14分)
已知正四棱柱中，是的中点.
（I）求证：平面；
（II）求证：；
（III）在线段上是否存在点，当时，平面平面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知等差数列的前项和为，公差，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前n项和.
(19)(本小题满分13分)
已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）如果对于任意的，都有，求的取值范围.
(20)(本小题满分14分)
已知椭圆的焦点为，点是椭圆上的一点，与轴的交点恰为的中点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆的右顶点，过焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求面积的取值范围.
北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模）
数学试卷（文科）参考答案及评分标准2014.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 A C C B A C B D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
（9）（10）
（11）；（12）
（13）；（14）；
（注：第一空2分，第二空3分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
………1分
………3分
，………4分
所以.………6分
因为，
所以.………7分
所以.
所以的值域为.………8分
(Ⅱ)因为，………10分
所以.………11分
所以.………12分
所以函数的单调递增区间为.………13分
(16)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）,………1分
所以.………2分
（Ⅱ），
第4组的人数为，
第5组的人数为.
所以3、4、5组人数共有60.………3分
所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为………4分
所以在抽取的人数为人在抽取的人数为在抽取的人数为………7分
,第4组的2名新生为,第5组的1名新生为.则从6名新生中抽取2名新生，共有:
,共有15种.…………9分
其中第4组的2名新生至少有一名新生被抽中的有:
共有9种,…………11分
则第4组至少有一名新生被抽中的概率为…………13分
(17)(本小题满分14分)
解：（Ⅰ）在正四棱柱中,连结交于，连结.
因为为正方形，
所以为中点.………1分
在中，
因为为中点，
所以∥.………2分
因为平面，平面，………4分
所以∥平面.………5分
(Ⅱ)因为为正方形，
所以.………6分
因为平面，
所以.………7分
因为,………8分
所以平面.………9分
因为，
所以.………10分
（Ⅲ）当，即点为线段的中点时，平面平面.…11分
因为且，
所以四边形是平行四边形.
所以.………12分
取的中点，连结.
因为为中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形.
所以.………13分
同理.
所以.
因为，，
所以平面平面.………14分
(18)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为公差，且，
所以.………2分
所以.………4分
所以等差数列的通项公式为.………5分
(Ⅱ)因为数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以.………6分
所以.………7分
（1）当时，.………8分
所以.………9分
（2）当时，
因为①………9分
②………10分
①-②得
………11分
………12分
………13分
(19)(本小题满分13分)
解：(Ⅰ)因为，………1分
因为，
所以.………2分
所以
.
令，解得.………3分
随着的变化，和的变化情况如下：
0 0 ↘ ↗ ↘ 即在和上单调递减，在上单调递增.………6分
(Ⅱ)因为对于任意的，都有，
即，
所以.………8分
设.
因为，………9分
又因为，
所以.………10分
所以.
所以在上单调递增.………11分
所以.………12分
即.………13分
(20)(本小题满分14分)
解：（I）因为为的中点，为的中点，，
所以，且.………1分
所以.
因为，
所以.………2分
因为,………3分
所以.
所以椭圆的方程为.………4分
（Ⅱ）设的直线的斜率为,显然.
（1）当不存在时，直线的方程为，
所以.
因为，
所以.…………5分
（2）当存在时，设直线的方程为.
由,消并整理得:
.…………6分
设,则
，.…………7分
因为
，…………8分
又因为点到直线的距离，…………9分
所以
…………10分
设，则
.…………11分
因为,
所以.
因为函数在上单调递增，…………12分
所以.
所以.
所以.
所以.
所以
所以.…………13分
综合（1）（2）可知.…………14分
【各题若有其它解法，请酌情给分】
主视图
左视图
俯视图
是
频率/组距
时间（分钟）
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