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北京市顺义区2014届高三第一次统练考试
数学（理）试题
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答
题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一.选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项
中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合
??|31Axx????
,
??|2Bxx??
,则集合
AB?
A.
?|31xx???
B.
??|32???
C.
??|1xx?
D.
??|2?
2.在极坐标系中，过点
(2,)3?
且垂直于极轴的直线方程为
A.
sin1????
.B
si1?
C.
cos1??
D.
?
3.执行右边的程序框图，若
5p?
，
则输出的
S
值为
A.
78
B.
1516
C.
3132
D.
6364
4.已知向量
(2,1)a?
，
2(1,1)abk???
，则
k?
是
ab?
的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
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5.将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名
学生的不同分配方案共有
A.12种B24种C.
36
种D.
48
种
6.已知函数
()cos(2)cos23fxxx????
，其中
xR?
，给出下列四个结论
①.函数
()fx
是最小正周期为
?
的奇函数；
②.函数图象的一条对称轴是
23x??
；
③.函数图象的一个对称中心为
5(,0)12?
；
④.函数的递增区间为
2,63kk????????????
，
kZ?
.
则正确结论的个数是
(A)1个(B)2个(C)
3
个(D)4个
7.已知
0a?
且
1?
，函数
(1)34,(0)(),(0)
x
axaxfxax????????
?
满足对任意实数
xx?
，
都有
21
21
()()0fxfxxx???
成立，则
a
的取值范围是
（A）
??0,1
（B）
??1,??
（C）
51,3??????
（D）
,2??????
8.设非空集合M同时满足下列两个条件：
①
??1,2,3,,1Mn????????
；
②若
aM?
，则
naM??
，
(2,)nnN???
.则下列结论正确的是
（A）若
n
为偶数，则集合的个数为
2n
个；
（B）若为偶数，则集合M的个数为
221n?
个；
（C）若为奇数，则集合的个数为
12?
个；
（D）若
n
为奇数，则集合的个数为
2n?
个.
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二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9.已知
i
为虚数单位，在复平面内复数
21ii?
对应点的坐标为__________.
10.一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的体积是___________．
11.
61()xx?
的展开式中，常数项是______________.
12.已知抛物线
22ypx?
（
0p?
）的焦点为F，准线为
l
，P为抛物线上一点，PAl?
，垂足为A.如果APF是边长为4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为
__________,点P的横坐标
Px?
______.
13.设
,xy
满足约束条件
4340
440
0
0
xy
xy
x
y
????
?????
??
?
???
，若目标函数
zaxby??(0,0)ab??
的最
大值为
8
，则
ab
的最大值为__________.
14.设等差数列
??na
满足公差
dN??
,
naN??
,且数列
??na
中任意两项之和也是该
数列的一项.若
513?
，则
d
的所有可能取值之和为_________________.
主视图侧（左）视图
俯视图
3
4
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三．解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤）
15.（本小题共13分）
已知
ABC
中，角A，B，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且满足
3sin(3cossin)2AAA??
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若
22a?
，
23ABCS?
，求
b
，
c
的值.
16.（本小题共13分）
某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初
赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机
会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错
3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为
2
，且相互间没有影响.
(Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求的分布列和数学期望.
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17.（本小题共14分）
如图在四棱锥
PABCD?
中，底面
ABCD
是菱形，
060BAD??
，
平面PAD?平面
ABCD
，2PAPDAD???，
Q
为AD的中点，M是棱
PC
上一点，且
13PMPC?
.
（Ⅰ）求证：
PQ?
平面；
（Ⅱ）证明：PA∥平面
BMQ
；
（Ⅲ）求二面角
MBQC??
的度数.
18.（本小题共13分）
已知函数
21()ln2fxaxxx???
（
,0aRa??
）
（Ⅰ）当
2a?
时，求曲线
()yfx?
在
(1,(1))f
处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间
??1,??
上函数
()fx
的图象恒在直线
yax
下方，求
a
的取值范围．
P
M
Q
AB
CD
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19.（本小题共14分）
已知椭圆
C
的离心率
22e?
，长轴的左右端点分别为
1(2,0)A?
，
(2,0)
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线
:lykxb??
与曲线
C
有且只有一个公共点P，且与直线
2x?
相交于点
Q
.问在
x
轴上是否存在定点
N
，使得以
PQ
为直径的圆恒过定点
N
，
若存在，求出
N
点坐标；若不存在，说明理由.
20.（本小题共13分）
对任意实数列
??123,,Aaaa????
，定义
??213243,,,Aaaaaaa???????
它的第
n
项为
1nnaa??
()nN??
,假设是首项是
a
公比为
q
的等比数列.
（Ⅰ）求数列
A
的前
n
项和
nT
；
（Ⅱ）若
1a?
，
2
，
q
.
①求实数列
??123Aaaa????
的通项
n
；
②证明：
312
2341
132n
n
aaaaaaaa
???????????
.
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即
31sin2cos2122AA???sin(2)16A???
————5分0A???
，
112666A???????
?
由
sin(2)16A?
得
262A????
，
3A?
———7分
或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛?
32128()33327C?
，————4分
或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛
222421216()()3381?
————6分
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?选手甲进入复赛的概率881664()27278181PA????————7分
X345
P
1
1027
827
?
10727EX?
————13分
（Ⅲ）连结BD，底面
ABCD
是菱形，且
060BAD??
，?BAD
是等边三角形，?
BQAD?
由（Ⅰ）
PQ?
平面
ABCD
.PQAD
.
以
Q
为坐标原点，
,,QAQBQP
分别为
x
轴
y
轴z轴建立空间直角坐标系
则
(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)ABP
.————10分
P
M
Q
AB
CD
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设平面
BMQ
的法向量为
(,,)mxyz?
，?
0
0
mQB
mMN
?????
????
，注意到
MN
∥PA?
0
0
mQB
PA
???
??
，解得
(3,0,1)
是平面
BMQ
的一个法向量——12分
（Ⅱ）令
21()()ln2gxfxaxaxxxax??????
定义域
(0,)??
在区间
??1,??
上，函数
()fx
的图象恒在直线
yax?
下方，
19．（本小题共14分）
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解：（Ⅰ）由已知
2,a?
22cea??
————2分?1c?
，
221bac???
椭圆
C
的方程为
221xy??
；————4分?NPNQ?
，即
0P??
————10分
1121(,)(2,2)0kxxkbbb?????
，
21112(1)210kxxxb?????
对满足
22bk??
恒成立，
12
1
10210xxx???????
?
，
11x?
故在
x
轴上存在定点
(,0)N
，使得以
PQ
为直径的圆恒过定点
N
.——14分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）令
??123,,Abbb????
这里
1,()nnnbaanN?????
A
是公比为
q
的等比数列.?
??2111,,Abbqbq????
?
??2111()(1),(1),(1)Abqbqqbqq???????
，
当
1?
时，
??()0,0,0A????
，
0nT?
，.———2分
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当
1q?
时，
()A
是公比为
q
，首项为
1(1)bq?
的等比数列；.
11(1)(1)(1)(1)1nnnnbqqTbqaqq?????????
.———4分?
综上
(1)nnTaq??
nN??
.———6分
（Ⅱ）①由题设
2,2aq??
，?
nb?
，1
()nnnaabnN?????
叠加可得
21nna
（
?
）.———8分
②
11
21212111
212(21)22(2)2
kkkk
kkkk
a
a??
???????
?
?
312
2341
111122222n
n
aaaanaaaa
?????????????????
.———10分
又
112
1
11(2)
21111122
1121222(21)2(2)2(2)
22
kk
k
kkk
a
a???
???
????????
??
kN??
，
22k?
，
220,322232kkkk???????
即
42232kk????
，?
1(21)32Kk?????
，?
111(1)32Kk???????
11111122(21)232kkkkaa????????
.———12分
3122
2341
1111111()(1)2322223223nnn
n
aannnaaaa
????????????????????
即
312
2341
1232n
n
aaaannaaaa
??????????
.———13分
|
|
