i=1,S=10
i<4？
开始
结束
是
否
i=i+1
输出S
S=S2i?
（第6题图）
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试（理工类）
2014．3
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
（1）复数i(2+i)z?在复平面内对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（2）已知集合1{|()1}2xAx??，集合{|lg0}Bxx??，则AB?
（A）{|0}xx?（B）{|1}xx?（C）{|1}{|0}xxxx??（D）?
（3）已知平面向量a，b满足2??ab，(2)()=2???a+bab，则a与b的夹角为
（A）6?（B）3?（C）3??（D）6??
（4）如图，设区域{(,)01,01}Dxyxy?≤≤≤≤，向区域D内
随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落
入到阴影区域3{(,)01,0}Mxyxyx?≤≤≤≤的概率为
（A）14（B）13
（C）25（D）27
（5）在ABC△中，π4A?，2BC?，则“3AC?”
是“π3B?”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（6）执行如图所示的程序框图,输出的S值为
（A）2（B）2?
（C）4（D）4?
y=x3
1
1O
y
x
（7）已知函数
2sin()1xfxx??
．下列命题：
①函数()fx的图象关于原点对称；②函数()fx是周期函数；
③当2x??时,函数()fx取最大值；④函数()fx的图象与函数1yx?的图象没有公共
点，其中正确命题的序号是
（A）①③（B）②③（C）①④（D）②④
（8）直线yxm??与圆2216xy交于不同的两点M，N，且3MNOMON??，
其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是
（A）??22,22,22??????（B）??42,2222,42??????
（C）[2,2]?（D）[22,22]?
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
（9）在各项均为正数的等比数列??na中，12a?，2312aa??，则该数列的前4项和
为．
（10）在极坐标系中，A为曲线2cos???上的点，B为曲线cos4???上的点，则线段
AB长度的最小值是．
（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积
为；表面积为．
（12）双曲线22
21(0)yxbb???
的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b?；
此双曲线的离心率为．
（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的
蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内
（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数
为．（用数字作答）
1
正视图侧视图
俯视图
1
11
（14）如图，在四棱锥SABCD?中，SB?底面ABCD．底
面ABCD为梯形，ABAD?，AB∥CD,1,3ABAD??，
2CD?．若点E是线段AD上的动点，则满足90SEC???的
点E的个数是．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（15）（本小题满分13分）
已知函数22()2sin()cossincosfxxxxx??????，x?R．
（Ⅰ）求()2f?的值及函数()fx的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()fx在??0,π上的单调减区间．
（16）（本小题满分13分）
某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力
和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
一般良好优秀
一般221
良好4b1
优秀13a
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知
道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生的概率为25．
（I）求a，b的值；
（II）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率；
（III）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生人数为?，求随机变量?的分布列及其数学期望E?．
B
CD
E
S
A
逻辑思维
能力运动
协调能力
（17）（本小题满分14分）
如图，四棱锥PABCD?的底面为正方形，侧
面PAD?底面ABCD．PAD△为等腰直角三角
形，且PAAD?．E，F分别为底边AB和侧棱
PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF?平面PCD；
（Ⅲ）求二面角EPDC??的余弦值．
（18）（本小题满分13分）
已知函数21()ln2fxaxx??，a?R．
（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；
（Ⅱ）若函数()fx在区间[1,e]的最小值为1，求a的值．
A
E
BC
D
P
F
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆22:1(0)xyCabab????经过点3(1,)2，离心率为32．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线(1)(0)ykxk???与椭圆C交于,AB两点，点M是椭圆C的右顶点．直线
AM与直线BM分别与y轴交于点,PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上
的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
（20）（本小题满分13分）
从1,2,3,,n中这n个数中取m（,mn??N，3mn??）个数组成递增等差数列，
所有可能的递增等差数列的个数记为(,)fnm．
（Ⅰ）当5,3nm??时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f的值；
（Ⅱ）求(100,10)f；
（Ⅲ）求证：()(1)(,)
2(1)nmnfnmm????
．
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学答案（理工类）2014.3
一、选择题
题号12345678
答案BABABDCD
二、填空题
题号91011121314
答案302132+325722
三、解答题
15.（本小题满分13分）
解：()fx?sin2cos2xx?
2sin(2)4x???.
（Ⅰ）2()2sin(2)212242f?????????.
显然，函数()fx的最小正周期为π.……………8分
（Ⅱ）令ππ3π2π22π242kxk???≤≤得
37ππππ88kxk??≤≤，k?Z.
又因为??0,πx?，所以3π7π,
88x???????
.
函数()fx在??0,π上的单调减区间为3π7π,
88??????
．……………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）设事件A：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优
秀的学生．
由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a?人．
则62()205aPA???．
解得2a?．
所以4b?．……………4分
（II）设事件B：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优
秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．
则212
22062()1()195CPBPBC?????
．……………7分
（III）?的可能取值为0，1，2．
20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．
所以212
22033(0)95CPC????
，
11128
22048(1)95CCPC????
，
28
22014(2)95CPC????
．
所以?的分布列为
所以，0E???33951??48952??1495764955??．……………13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG.
因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以FG是△PCD的中位线.
所以FG∥CD，且12FGCD?．
又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，
所以1122AEABCD??，且AE∥CD.
所以AE∥FG，且AEFG?．
所以四边形AEFG是平行四边形．
所以EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
?012
P339548951495
A
E
BC
D
P
FG
所以EF平面PAD．……………4分
（Ⅱ）证明：因为平面PAD?平面ABCD，
PAAD?，且平面PAD平面ABCDAD?，
所以PA?平面ABCD．
所以PAAB?，PAAD?．
又因为ABCD为正方形，所以ABAD?，
所以,,ABADAP两两垂直.
以点A为原点，分别以,,ABADAP为,,xyz轴，
建立空间直角坐标系（如图）．
由题意易知ABADAP??，
设2ABADAP???，则
(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P,(1,0,0)E,(1,1,1)F．
因为(0,11)EF?，，(022)PD??，，，(200)CD??，，，
且(0,11)(0,2,2)0EFPD?????，，(0,11)(2,00)0EFCD?????，，
所以EFPD?，EFCD?．
又因为PD，CD相交于D，所以EF?平面PCD．……………9分
（Ⅲ）易得(102)EP??，，，(0,22)PD??,．
设平面EPD的法向量为(,,)xyz?n，则
0,
0.
EP
PD
?????
????
n
n
所以20,
220.xzyz????????
即2,
.xzyz?????
令1z?，则(2,1,1)?n．
由（Ⅱ）可知平面PCD的法向量是(0,11)EF?，，
所以23cos,3
26EFEFEF????????nnn
.
A
E
BC
D
P
F
y
A
x
A
z
A
由图可知，二面角EPDC??的大小为锐角，
所以二面角EPDC??的余弦值为3
3
．……………14分
18.（本小题满分13分）
解：函数()fx的定义域是(0,)??，1()fxaxx???21axx??．
（Ⅰ）（1）当0a?时，1()0fxx????，故函数()fx在(0,)??上单调递减．
（2）当0a?时，()0fx??恒成立，所以函数()fx在(0,)??上单调递减．
（3）当0a?时，令()0fx??，又因为0x?，解得1x
a?
．
①当1(0,)x
a?
时，()0fx??，所以函数()fx在1(0,)
a
单调递减．
②当1(,)x
a???
时，()0fx??，所以函数()fx在1(,)
a??
单调递增．
综上所述，当0a≤时，函数()fx的单调减区间是(0,)??，
当0a?时，函数()fx的单调减区间是1(0,)
a
，单调增区间为1(,)
a??
．…7分
（Ⅱ）（1）当0a?时，由（Ⅰ）可知，()fx在[1,e]上单调递减，
所以()fx的最小值为21(e)e112fa???，解得
240ea??
，舍去．
（2）当0a?时，由（Ⅰ）可知，
①当11
a≤
，即1a≥时，函数()fx在[1,e]上单调递增，
所以函数()fx的最小值为1(1)12fa??，解得2a?．
②当11ea??，即
211ea??
时，函数()fx在1(1,)a上单调递减，
在1(,e)a上单调递增，所以函数()fx的最小值为111()ln122faa???，
解得ea?，舍去．
③当1e
a≥
，即
210ea?≤
时，函数()fx在[1,e]上单调递减，
所以函数()fx的最小值为21(e)e112fa???，得
24ea?
，舍去．
综上所述，2a?．……………13分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得
22
3=
2
131
4
c
a
ab
?
??
?
???
??
，解得=2a，1b?．
所以椭圆C的方程是2214xy??．……………4分
（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点.
由2
2
(1)
14
ykx
xy
????
????
?
得2222(14)8440kxkxk?????．
设1122(,),(,)AxyBxy，则有2
122814kxxk???
，2
1224414kxxk???
．
又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点(2,0)M．
由题意可知直线AM的方程为1
1(2)2
yyxx???，故点1
1
2(0,)2yPx??．
直线BM的方程为2
2(2)2
yyxx???，故点2
2
2(0,)2yQx??．
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点0(,0)Nx，则等价于0PNQN??恒成
立．
又因为1
012(,)2yPNxx??
，2
022(,)2yQNxx??
，
所以221212
001212224022(2)(2)yyyyPNQNxxxxxx???????????
恒成立．
又因为121212(2)(2)2()4xxxxxx??????
22
22448241414kkkk??????
2
2414kk??
，
212121212(1)(1)[()1]yykxkxkxxxx???????
222
22448(1)1414kkkkk??????
2
2314kk???
，
所以
2
222212
0002
12
2
12
41430
4(2)(2)
14
k
yykxxx
kxx
k
?
???????
??
?
．
解得03x??．
故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(3,0)?．……………14分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.
所以(5,3)4f?.……………3分
（Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a，公差为d，d??N.
1019aad??，10110011199aad????≤，d的可能取值为1,2,,11．
对于给定的d，11091009aadd???≤，当1a分别取1,2,3,,1009d?时，可得递
增等差数列1009d?个（如：1d?时，191a≤，当1a分别取1,2,3,,91时，可得递增
等差数列91个：1,2,3,,11；2,3,4,,12；；91,92,93,,100，其它同理）.
所以当d取1,2,,11时，可得符合要求的等差数列的个数为：
(100,10)100119(1211)1100966506f???????????．……………8分
（Ⅲ）设等差数列首项为1a，公差为d，
1(1)maamd???，1111maandmm?????≤，
记11nm??的整数部分是t，则111nntmm????≤，即111nmntmm???≤．
d的可能取值为1,2,,t，
对于给定的d，1(1)(1)maamdnmd?????≤，当1a分别取1,2,3,,(1)nmd??时，
可得递增等差数列(1)nmd??个.
所以当d取1,2,,t时，得符合要求的等差数列的个数
2(1)121(,)(1)222ttmnmfnmntmtt???????????
22121(21)()
22(1)8(1)mnmnmtmm???????????
易证211
12(1)1nmnmnmmm????????≤
．
又因为211||
12(1)2(1)nmnmmmmm?????????
，2113||
2(1)12(1)nmnmmmm?????????
，
所以21211||||
12(1)2(1)1nmnmnmnmmmm?????????????
．
所以(1)(,)(1)2ttfnmntm?????
(1)()(1)11(1)
122(1)
nmnmnmnmn
mmnmmm
??????
??????????．
即()(1)(,)
2(1)nmnfnmm????
．……………13分
|
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