东城区2013-2014学年度第二学期教学检测
高三数学（文科）
学校_____________班级_________姓名__________考号__________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120
分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回。
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=
A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}
C.{1，2，5}D.{1,2}[来源:学科网]
2.在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数
据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
A.众数B..平均数C.中位数D.标准差
3.已知i是虚数单位，若i1zi3???,则z的共轭复数为
A1-2iB2-4iCi222?D1+2i
4．设l是直线，a，β是两个不同的平面,
A.若l∥a，l∥β，则a∥βB.若l∥a，l⊥β，则a⊥β
C.若a⊥β，l⊥a，则l⊥βD.若a⊥β,l∥a，则l⊥β
5．函数2sin(09)
63xyx????????????
的最大值与最小值之差为
A32?B.4C.3D.32?
6．"0"a?“是函数|)ax2(x|)x(f??在区间(0,+)?内单调递增”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7．已知双曲线1C：22
221(0,0)xyabab????
的离心率为2.若抛物线
22:2(0)Cxpyp??的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2，则抛物线2C的方程为
A.283
3xy?
B.2163
3xy?
C.28xy?D.216xy?
8．已知cbaabcxxxxf??????,96)(23，且[来源:Zxxk.Com]
0)()()(???cfbfaf，现给出如下结论：
①0)1()0(?ff；②0)1()0(?ff；③0)3()0(?ff；④0)3()0(?ff.
其中正确结论的序号是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
非选择题部分（共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.已知变量x、y满足条件1,0,
290,
x
xy
xy
???
????
????
则xy?的最大值是______.
10.经过圆2220xxy???的圆心C，且与直线0xy??垂直的直线
方程是．
11.曲线21xyxex???在点（0,1）处的切线方程为.
12.在数列{}na中，12a?，
11ln(1)nnaan????
，则_____;a5?
13.已知平面向量(2,4)a?，．2),1(b??若()caabb???，
则||c?_____________．
14.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知
曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距
离，则实数a=_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.
16.（本题满分14分）[来源:学科网]
如图，在三棱锥PABC?中，⊿PAB是等边三角形，
∠PAC=∠PBC=90o
（Ⅰ）证明:：AC=BC；
（Ⅱ）证明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若4PC?，且平面PAC⊥平面PBC，
求三棱锥PABC?体积.
17.（本题满分13分）
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:
辆):
轿车A轿车B轿车C
舒适型100[来源:学&科&网]150z
标准型300450600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ)求z的值；
(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2
辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,
8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数
之差的绝对值不超过0.5的概率.
18．（本题满分14分）
设函数()(,,)nnfxxbxcnNbcR??????
（Ⅰ）设2n?，1,1bc???，证明：()nfx在区间1,1
2??????
内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设2n?，若对任意12,xx[1,1]??，有2122|()()|4fxfx??，求b的取值范围．
19.（本题满分14分）
已知椭圆22
1:14xCy??
，椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率．
（Ⅰ）求椭圆2C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点AB，分别在椭圆1C和2C上，2OBOA?，求直线AB的方程．
20.（本题满分13分）
对于项数为m的有穷数列数集}{na，记},,,max{21kkaaab??（k=1,2,…,m），即kb为
kaaa,,,21?中的最大值，并称数列}{nb是}{na的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列}{na的控制数列为2,3,4,5,5，
写出所有的}{na；
（Ⅱ）设}{nb是}{na的控制数列，满足Cbakmk????1（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：kkab?
（k=1,2,…,m）.
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测
高三数学答案（文科）
一、选择题：1.D;2.D;3.A;4.B;5.A;6.C;;7.D;8.C.
二、填空题:9.6;10.10xy???;11.31yx??;
12.ln52?;13.28;14..49
三、解答题：
15.（本题满分12分）
（Ⅰ）bsinA=3acosB，
由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB?，
即得tan3B?，3B???..………………5分
（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得2ca?，
由余弦定理2222cosbacacB???，229422cos3aaaa?????，
解得3a?，223ca???.
△ABC的面积=.233acsinB21?………………12分
16.（本题满分14分）
（Ⅰ）因为PAB?是等边三角形，90PACPBC?????,
所以RtPBCRtPAC???,可得ACBC?.
………………3分
（Ⅱ）如图，取AB中点D，连结PD,CD,
则PDAB?,CDAB?,
所以AB?平面PDC,
所以ABPC?.．．．．．．7分
(Ⅲ)作BEPC?，垂足为E，连结AE．
因为RtPBCRtPAC???，
所以AEPC?，AEBE?．
由已知，平面PAC?平面PBC，故90AEB???．
因为RtAEBRtPEB???，所以,,AEBPEBCEB???都是等腰直角三角形。
由已知4PC?，得2AEBE??，AEB?的面积2S?．
因为PC?平面AEB，
所以三棱锥PABC?的体积1833VSPC????．．．．．．14分
17.（本题满分13分）
:(Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,5010100300n??,
所以n=2000.z=2000-100-300-150-450-600=400．．．．．．3分
(Ⅱ)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,
因为用分层抽样,所以40010005m?,解得m=2,
即抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,
则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),((S1,
S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个,
其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:,(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),
(S2,B2),(S2,B3),((S1,S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为
710.．．．．．．9分
(Ⅲ)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x?????????,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数,
总的个数为8,
所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
75.086?..．．．．．．13分
18．（本题满分14分）
（Ⅰ）当112()1nnbcnfxxx???????，，时，
1111()(1)()10()12222
nnnnfffx?????，在（，）内存在零点
．
又当''11(,1)()102n
nxfxnx?????时，
，
11()1()122
nnfxfx??在（，）上是单调递增的，在（，）内存在唯一零点
．
．．．．．．6分
（Ⅱ）当2n?时，cbxxxf???22)(．
对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221?????在等价于都有xfxfxfxx
上的最大值与最小值之差4?M,据此分类讨论如下：
（ⅰ）12
2bb??当，即时
，
22(1)(1)24Mffb?????，与题设矛盾．
（ⅱ）-1-0022bb????当，即时，
2
22(1)()(1)422bbMff??????恒成立
．
（ⅲ）0-1-202bb????当，即时，
2
22(-1)()(-1)422bbMff?????恒成立
．
综上可知，22-??b．．．．．．．14分
19.（本题满分14分）
（Ⅰ）由已知可设椭圆2C的方程为??22
2124yxaa???
，
其离心率为32，故2432aa??，则4a?．
故椭圆2C的方程为141622??xy．．．．．．．5分
（Ⅱ）设AB，两点的坐标分别为????AABBxyxy，，，，
由2OBOA?及（Ⅰ）知，OAB，，三点共线且点AB，不在
y轴上，因此可设直线AB的方程为kxy?．
将kxy?代入1422??yx中，得??44122??xk，
所以
22414kxA??
，
将kxy?代入22+1164yx?中，得??22416kx??，
所以2
2164Bxk??
，
又由2OBOA?，得224ABxx?，即
224116416kk???
．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
解得1??k，故直线AB的方程为xy?或xy??．
．．．．．．14分
20.（本题满分13分）
（Ⅰ）数列}{na为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；
2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.……5分
（Ⅱ）因为},,,max{21kkaaab??，
},,,,max{1211???kkkaaaab?，
所以kkbb??1.
因为Cbakmk????1，Cbakmk????1，
所以011????????kmkmkkbbaa，即kkaa??1.
因此，kkab?.……13分
|
|
