探究1化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值． (1)(2013·新课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.(2)求f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域．例2(1)求f(x)＝cos2x＋asinx的最小值．【答案】当a>0时，y取最小值，ymin＝－a；当a≤0时，y取最小值，ymin＝a(2)求函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域．探究2可化为y＝f(sinx)型三角函数的最值或值域也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．探究3借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．高考调研第页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究三角函数的值域与最值题型一y=Asin(ωx+φ)+B型的最值问题思考题1【答案】[－4,5]题型二可化为y=f(sinx)型的值域问题思考题2题型三数形结合求三角函数的值域思考题3高考调研第页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解
题组层级快练
专题讲解
例1(2014·天津理)已知函数f(x)＝cosxsin－cos2x＋，xR.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
【解析】(1)由已知，有f(x)＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，
f＝－，f＝－，f＝.
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
【答案】(1)π(2)最大值为，最小值为－
【解析】由辅助角公式，得f(x)＝·(sinx－cosx)＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.由x＝θ时，f(x)取得最大值sin(θ－φ)＝1，θ－φ＝2kπ＋，kZ，即θ＝φ＋＋2kπ，cosθ＝cos(φ＋)＝－sinφ＝－.
【答案】－
【解析】f(x)＝3sinx＋4cosx＝5(sinx＋cosx)＝5sin(x＋φ)，
其中cosφ＝，sinφ＝，0<φ<.
0≤x≤π，φ≤x＋φ≤π＋φ.
当x＋φ＝时，f(x)max＝5；
当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4.
f(x)的值域为[－4,5]．
(3)设函数f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m(xR)．
化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；
若x[0，]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[，]？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＋m
＝1＋cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，
函数f(x)的最小正周期T＝π.
②假设存在实数m符合题意．x∈[0，]，
≤2x＋≤，sin(2x＋)[－，1]．
f(x)＝2sin(2x＋)＋m＋1[m,3＋m]．
又f(x)∈[，]，解得m＝，
存在实数m＝，使函数f(x)的值域恰为[，]．
【答案】π存在实数m＝，使函数f(x)的值域恰为[，]
【解析】f(x)＝1－sin2x＋asinx，
令t＝sinx，t[－1,1]，
y＝－t2＋at＋1＝－(t－)2＋1＋.
当a>0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a；
当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.
【解析】令t＝sinx＋cosx，则有
t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝.
y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.
又t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，
－≤t≤.
故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)．
从而知f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋.
则函数的值域为[－1，＋]．
【答案】[－1，＋]
(1)求函数y＝的值域．
【解析】y＝＝
＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋)2－，
于是当且仅当cosx＝1时，ymax＝4.
但cosx≠1，y<4.
且ymin＝－，当且仅当cosx＝－时取得．
故函数值域为[－，4)．
【答案】[－，4)
(2)求函数y＝的值域．
【解析】原函数可化为
y＝＝.
y＝3cos2x－1，(cos2x≠)．
－1≤y≤2，且y≠.
【答案】[－1，)(，2]．
例3(1)求函数f(x)＝的值域．
(2)已知f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，求f(x)的值域．
【解析】(1)函数f(x)＝，
可看作点(2,2)，(－cosx，sinx)两点连线的斜率．
点(－cosx，sinx)的轨迹为x2＋y2＝1.
函数值域即为(2,2)与单位圆x2＋y2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k.
切线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0.
∴满足＝1，解之得k＝.
函数f(x)的值域为[，]．
(2)f(x)＝
作出图像，
由图像知，－1≤y≤.
【答案】(1)[，](2)[－1，]
求y＝的值域．
【解析】可理解为点P(－cosx，－sinx)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cosx，－sinx)在单位圆上，如图所示．
故t＝满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由原点到直线的距离不大于半径1，得≤1，解得0≤k≤.从而值域为[0，]．
【答案】[0，]
1．三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域.
函数 y＝sinx cosx tanx 定义域 R R {x|x≠kπ＋，kZ} 值域 [－1,1] [－1,1] R
2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为
y＝Asin(ωx＋φ)＋B型；y＝f(sinx)型．
3．－≤asinx＋bcosx≤.
4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性．
5．利用导数求三角函数的值域和最值．
6．y＝型．
(1)转化为Asinx＋Bcosx＝C型．
(2)利用直线的斜率求解．
7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．
|
|
