4-专题研究2

实际问题中的常用角(1)仰角和俯角．在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，在水平线 的角叫俯角(如图①)．(2)方位角．指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．例1如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．探究1这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．例2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．探究2本题有两处易错点：①图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；②对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错． (1)在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中影子的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7m B.17.3mC.37.3m D.373m(2)(2014·新课标全国Ⅰ文)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°.从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.探究3首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．高考调研第页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究二正、余弦定理应用举例上方下方题型一测量距离问题思考题1【答案】60题型二测量高度问题思考题2【答案】C【答案】150题型三测量角度问题【答案】1小时思考题3【答案】中国海监船能及时赶到高考调研第页第四章三角函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解

题组层级快练



专题讲解

【解析】在ACD中，已知CD＝a，ACD＝60°，ADC＝60°，所以AC＝a.

在BCD中，由正弦定理可得

BC＝＝a.

在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB＝30°，

所以利用余弦定理可以求得A、B两点之间的距离为

AB＝＝a.

【答案】a

(2014·四川理)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)

【解析】根据已知的图形可得AB＝.在ABC中，BCA＝30°，BAC＝37°，

由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)．

【思路】依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大，要求出塔高AB，必须先求BE，而求BE，需先求BD(或BC)．

【解析】如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时DBF＝45°，过点B作BECD于E，则AEB＝30°.

在BCD中，CD＝40，BCD＝30°，DBC＝135°.

由正弦定理，得＝.

∴BD＝＝20.

BDE＝180°－135°－30°＝15°.

在RtBED中，

BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1)．

在RtABE中，AEB＝30°，

AB＝BEtan30°＝(3－)(米)．

故所求的塔高为(3－)米．

【答案】(3－)米

【解析】依题意画出示意图，

则＝，

CM＝×10≈37.3(m)

【解析】在ABC中，AC＝100，在MAC中，＝，解得MA＝100，在MNA中，＝sin60°＝，故MN＝150，即山高MN为150m.

例3如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

【解析】由题意知AB＝5(3＋)海里，

DBA＝90°－60°＝30°，DAB＝90°－45°＝45°，

ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在DAB中，由正弦定理，得＝.

DB＝＝＝＝＝10(海里)．

又DBC＝DBA＋ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，

在DBC中，由余弦定理，得

CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cosDBC

＝300＋1200－2×10×20×＝900.

CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．

故救援船到达D点需要1小时．

如图所示，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(≈1.41，≈1.73，≈2.45)【解析】过点A作ADBC，交BC的延长线于点D.

因为CAD＝45°，AC＝10海里，

所以ACD是等腰直角三角形．

所以AD＝CD＝AC＝×10＝5(海里)．

在RtABD中，因为DAB＝60°，

所以BD＝AD×tan60°＝5×＝5(海里)．

所以BC＝BD－CD＝(5－5)海里．

因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，

所以中国海监船到达C点所用的时间t1＝＝＝(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t2＝＝≈＝0.4(小时)．

因为<0.4，所以中国海监船能及时赶到．