探究1利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)求通项公式的方法称为累加法．累加法是求型如an＋1＝an＋f(n)的递推数列通项公式的基本方法，其中f(n)可求前n项和． (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，求数列{an}的通项公式．【解析】累加法：由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.【答案】an＝22n－1探究3通过换元构造等差或等比数列从而求得通项． (1)若数列{an}中，a1＝3且an＋1＝a(n是正整数)，则它的通项公式an＝________.例4(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.【解析】原递推式可化为an＋1＋λ·3n＝2(an＋λ·3n－1)．①比较系数得λ＝－4，①式即是：an＋1－4·3n＝2(an－4·3n－1)．则数列{an－4·3n－1}是一个等比数列，其首项a1－4·31－1＝－5，公比是2.∴an－4·3n－1＝－5·2n－1.即an＝4·3n－1－5·2n－1.(3)在数列{an}中，a1＝－1，a2＝2，当n∈N，an＋2＝5an＋1－6an，求通项公式an.【解析】an＋2＝5an＋1－6an可化为an＋2＋λan＋1＝(5＋λ)(an＋1＋λan)．比较系数得λ＝－3或λ＝－2，不妨取λ＝－2.代入可得an＋2－2an＋1＝3(an＋1－2an)．则{an＋1－2an}是一个等比数列，首项a2－2a1＝2－2(－1)＝4，公比为3.∴an＋1－2an＝4·3n－1.利用上题结果有：an＝4·3n－1－5·2n－1.当λ＝－3时结果相同．【答案】(1)an＝2n＋1－3(2)an＝4·3n－1－5·2n－1(3)an＝4·3n－1－5·2n－1探究4构造法基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列．例5设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝4，an＋1＝Sn＋3n，n∈N.求数列{an}的通项公式． (1)已知{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn，则通项公式an＝________.思考题5高考调研第页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究一数列的通项题型一累加法【答案】an＝lnn＋2思考题1题型二累乘法思考题2题型三〓换元法思考题3【答案】32n－1题型四待定系数法(构造新数列法)思考题3题型五公式法高考调研第页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解
题组层级快练
专题讲解
例1在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，求an.
【解析】方法一：an＋1＝an＋ln(1＋)，
an＋1－an＝ln，an－an－1＝ln，
an－1－an－2＝ln，…，a2－a1＝ln.
an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝lnn.
又a1＝2，an＝lnn＋2.
方法二：an＋1＝an＋ln(1＋)，
an＋1－an＝ln.又a1＝2，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋2＝lnn＋2.
即an＝lnn＋2.
【解析】an＋1＝an＋n＋1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋n，以上n－1个式子相加，得an＝a1＋2＋3＋…＋n＝＋1.
【答案】
例2设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.
【解析】原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
an＋1＋an>0，＝.
则＝，＝，＝，…，＝，逐项相乘，得＝，即an＝.
【答案】
探究2利用恒等式an＝a1··…(an≠0)求通项公式的方法称为累乘法．累乘法是求型如an＋1＝g(n)an的递推数列通项公式的基本方法，其中g(n)可求前n项积．
已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求通项公式an.
【解析】由已知得＝，分别令n＝1,2,3，…，(n－1)，代入上式得n－1个等式累乘，即···…·＝××××…××，所以＝.
又因为a1＝也满足该式，所以an＝.
【答案】an＝
例3已知数列{an}，其中a1＝，a2＝，且当n≥3时，an－an－1＝(an－1－an－2)，求通项公式an.
【解析】设bn－1＝an－an－1，原递推式可化为
bn－1＝bn－2，{bn}是一个等比数列．
b1＝a2－a1＝－＝，公比为，故
bn－1＝b1·()n－2＝()n－2＝()n.
故an－an－1＝()n.
由逐差法，可得an＝－()n.
【答案】an＝－()n
【解析】由题意知an>0，将an＋1＝a两边取对数，得
lgan＋1＝2lgan，即＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，公比为2的等比数列．
lgan＝lga1·2n－1＝2n－1·lg3，即an＝32n－1.
(2)已知数列{an}中，其中a1＝1，且当n≥2时，an＝，求通项公式an.
【解析】将an＝两边取倒数，得－＝2，这说明{}是一个等差数列，首项是＝1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝.
【答案】an＝
【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)即an＋1＝2an－tt＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.
(2)在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4·3n－1，求通项公式an.
已知数列{an}满足a1＝，＝，anan＋1<0，求数列{an}的通项公式．
【解析】＝，3a＝2a＋1.
即a＝a＋.∴a－1＝(a－1)．
令bn＝a－1，bn＋1＝bn.
又b1＝a－1＝－，
∴数列{bn}是首项为－，公比为的等比数列．
bn＝－·()n－1.
a－1＝－·()n－1.
a＝1－·()n－1.
又a1＝>0，an·an＋1<0，
an＝(－1)n－1.
【答案】an＝(－1)n－1
【解析】方法一：由an＋1＝Sn＋3n，得
an＝Sn－1＋3n－1(n≥2)．
两式相减，得an＋1－an＝an＋2×3n－1.
an＋1＝2an＋2×3n－1(n≥2)．
两边同除以2n＋1，得＝＋(n≥2)．
当n≥2时，＝＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝＋＋＋…＋＝＋＝＋()n－1，
an＝
方法二：依题意，得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n.
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
数列{Sn－3n}是首项为S1－31＝1，公比为2的等比数列．
因此Sn－3n＝2n－1，nN.
∴Sn＝3n＋2n－1.
因此an＝＝
【答案】an＝
探究5已知Sn与an的关系求通项：
(1)已知数列{an}的前n项和Sn，求an时，要注意运用an和Sn的关系，即an＝
(2)对于形如Sn＝f(an)求an常有两种处理方法：由Sn＝f(an)，得Sn－1＝f(an－1)两式作差，得an＝f(an)－f(an－1)(n≥2)．将an换成Sn－Sn－1，即Sn＝f(Sn－Sn－1)，先求出Sn，再求出an.
【解析】方法一：Sn＋1－Sn＝Sn，Sn＋1＝2Sn.
因此{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，2为公比的等比数列．
Sn＝2n－1，an＝
方法二：由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1(n≥2)．
两式相减，得an＋1＝2an(n≥2)．
因此数列{an}从第二项起是以2为公比的等比数列．
an＝
【答案】
(2)若an>0，＝，则通项公式an＝________.
【解析】公式法由＝，得Sn＝.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－.
8an＝(an＋an－1＋4)(an－an－1)．
(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
an>0，an＋an－1>0.
∴an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.
数列{an}为等差数列，且公差d＝4.
又a1＝S1＝，a1＝2.
an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
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