例1设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．探究1本题中的前四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即可． (1)已知A，B，C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆Q切直线l于点A，又过B，C作圆Q异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程．【解析】如下图，由切线性质，得(3)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高为b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．【解析】以BC定直线为x轴，过A作x轴的垂线建系，则A(0，b)．设外心M(x，y)，则MN是BC的垂直平分线，N为垂足．∴|MA|＝|MB|.【答案】x2－2by＋b2－a2＝0例2自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程．【答案】y2＝－2x2＋x探究2(1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的，如本题中P是主动点，R是次动点．(2)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律． 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F.(1)点A，P满足＝－2.当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；(2)在x轴上是否存在异于原点的点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．探究3在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等．【思路】(1)由焦点坐标和离心率可求出椭圆的长半轴长、半焦距长和短半轴长，可得椭圆的标准方程；(2)讨论两条切线的斜率是否存在，斜率存在时，设出切线方程，利用直线与椭圆相切得判别式Δ＝0，建立关于k的一元二次方程，利用两根之积为－1，求出点P的轨迹方程．探究4高考题中求轨迹问题的主要类型是直译法，相关点法和参数法． (2014·新课标全国Ⅰ文)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．思考题4高考调研第页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究一曲线与方程思考题1思考题2思考题3高考调研第页第九章解析几何新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解
题组层级快练
专题讲解
【解析】方法一：直译法：设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOP，OC中点为M(，0)，
则|MP|＝|OC|＝，得方程(x－)2＋y2＝，考虑轨迹的范围知0
方法二：定义法：OPC＝90°，
动点P在以M(，0)为圆心OC为直径的圆上，|OC|＝1，再利用圆的方程得解．
方法三：相关点法：设Q(x1，y1)，则
又(x1－1)2＋y＝1，
(2x－1)2＋(2y)2＝1(0
方法四：参数法：设动弦PQ的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0，
x＝＝，y＝kx＝消去k即可．
方法五：(参数法)设Q点坐标为(1＋cosθ，sinθ)，
P(x，y)的坐标为消θ即可．
【答案】(x－)2＋y2＝(0
|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原点建立坐标系得
P点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
【答案】＋＝1(y≠0)
(2)设动直线l垂直x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·＝1的点，求点P的轨迹方程．
【解析】A，B两点的坐标分别为
A，B.
设P(x，y)，则
＝，＝.
由·＝1，得x2＋2y2＝6(－2
【答案】x2＋2y2＝6(－2
∴|MA|＝，|MB|＝＝.所以x2－2by＋b2－a2＝0.
【解析】相关点法：设P(x1，y1)，R(x，y)，
则Q，F.OP的方程为y＝x.
FQ的方程为y＝－y1.
联立得x1＝，y1＝代入抛物线方程可得
y2＝－2x2＋x.
【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，则＝(x－xA，y－yA)．
因为F的坐标为(1,0)，所以＝(xA－1，yA)．
由＝－2，得(x－xA，y－yA)＝－2(xA－1，yA)，
即解得
代入y2＝4x，得到动点P的轨迹方程为y2＝8－4x.
(2)假设存在这样的点Q，其坐标为(t,0)，点Q关于直线y＝2x的对称点Q′(x，y)，则解得
由Q′在抛物线C上，将Q′的坐标代入y2＝4x，得4t2＋15t＝0，即t＝0或t＝－.所以存在满足题意的点Q，其坐标为(0,0)或(－，0)．点(0,0)不符合题意．Q(－，0)．
【答案】(1)y2＝8－4x(2)存在，Q(－，0)
例3过点M(－2,0)作直线l交双曲线x2－y2＝1于A，B两点，已知＝＋.求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
【解析】(参数法)：设l的方程为y＝k(x＋2)，代入方程x2－y2＝1，得(1－k2)x2－4k2x－4k2－1＝0.
当k≠±1时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)
＝k(x1＋x2)＋4k
＝＋4k＝.
设P(x，y)，由＝＋，
得(x，y)＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(，)．
∴
②÷③，得＝k.
将代入，得y＝，化简，
得x2－y2＋4x＝0，即(x＋2)2－y2＝4.
当斜率不存在时，易知P(－4,0)满足方程，故所求轨迹方程为(x＋2)2－y2＝4，其轨迹为双曲线．
【答案】(x＋2)2－y2＝4，轨迹为双曲线
设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，l上的动点P满足＝(＋)，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
【解析】方法一：直线l过点M(0,1)，当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A，B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)是方程组的解．
将代入并化简，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.
所以
于是＝(＋)＝(，)
＝(，)．
设点P的坐标为(x，y)，则
消去参数k，得4x2＋y2－y＝0.
当直线l的斜率不存在时，A，B的中点坐标为原点(0,0)，也满足方程.
所以点P的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
方法二：设点P的坐标为(x，y)，
因A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以x＋＝1.
x＋＝1.
④－，得x－x＋(y－y)＝0，所以
(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
当x1≠x2时，有
x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0.
并且
将代入并整理，得4x2＋y2＝y.
当x1＝x2时，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．
这时点P的坐标为(0,0)，也满足.
所以点P的轨迹方程为＋＝1.
【答案】4x2＋y2－y＝0
例4已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【解析】(1)由题意知c＝，＝，
所以a＝3，b2＝a2－c2＝4.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设两切线分别为l1，l2，
当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知P(±3，±2)．
当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3.
设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为－，
故l1的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立＋＝1，
得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0.
因为直线l1与椭圆C相切，所以Δ＝0.
即9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0.
所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0.
所以(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.
所以是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠±3)的一个根，同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠±3)的另一个根．
所以k·＝，得x＋y＝13，其中x0≠±3.
所以此时点P的轨迹方程为x＋y＝13(x0≠±3)．
因为P(±3，±2)满足x＋y＝13，
所以综上可知，点P的轨迹方程为x＋y＝13.
【答案】(1)＋＝1(2)x＋y＝13
【思路】(1)设出点M的坐标，再根据·＝0求得点M的轨迹方程；(2)解题的关键是将条件|OP|＝|OM|进行合理转化．
【解析】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．
又P在圆N上，从而ONPM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－.
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以POM的面积为.
【答案】(1)(x－1)2＋(y－3)2＝2
(2)x＋3y－8＝0，SPOM＝
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