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第一篇章：高中数学基础知识重点归纳
第一部分集合
1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变
量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；
2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角
坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后
利用数形结合的思想方法解决；
3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的
数为2n－2；
（2）;BBAABABA???????注意：讨论的时候不要遗忘了
??A的情况。
4．?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分函数与导数
1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；
⑤换元法；⑥利用均值不等式
22
22babaab????；⑦利用数形结合或
几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa、xsin、xcos
等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
①若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b
解出;
②若f[g(x)]的定义域为[a，b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求
g(x)的值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数)]([xgfy?分解为基本函数：内函数)(xgu?与外函数
)(ufy?；
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．；
⑵)(xf是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(xf是偶函数?f(－x)=f(x)
⑶奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(?f；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的
单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义：
①)(xf在区间M上是增函数,,21Mxx???当21xx?时有12()()fxfx?；
②)(xf在区间M上是减函数,,21Mxx???当21xx?时有12()()fxfx?；
⑵单调性的判定
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①定义法：一般要将式子)()(21xfxf?化为几个因式作积或作商的形式，以
利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf??（其中T为
非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期
都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
①?2:sin??Txy；②?2:cos??Txy；③???Txy:tan；
④
||2:)cos(),sin(???????????TxAyxAy
⑤
||:tan?????Txy
(3)与周期有关的结论
)()(axfaxf???或)0)(()2(???axfaxf?)(xf的周期为a2；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：?xy?（)R??；⑵指数函数：)1,0(???aaayx；
⑶对数函数:)1,0(log???aaxya；⑷正弦函数:xysin?；
⑸余弦函数：xycos?；（6）正切函数：xytan?；
⑺一元二次函数：02???cbxax；
⑻其它常用函数：
①正比例函数：)0(??kkxy；②反比例函数：)0(??kxky；
③对勾函数：)0(???axaxy；
9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式：cbxaxxf???2)(；
②顶点式：khxaxf???2)()(，),(kh为顶点；
③零点式：))(()(21xxxxaxf???。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数cbxaxy???2的图象的对称轴方程是abx2??，顶点坐标是
??????????abacab4422，。
10．函数图象：
⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）
②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
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①平移变换：ⅰ))()(axfyxfy????，)0(?a———左“+”右“－”；
ⅱ))0(,)()(?????kkxfyxfy———上“+”下“－”；
②对称变换：ⅰ)(xfy?????)0,0()(xfy???；
ⅱ)(xfy??????0y)(xfy??；
ⅲ)(xfy?????0x)(xfy??；
ⅳ)(xfy??????xy()xfy?；
③翻转变换：
ⅰ)|)(|)(xfyxfy???———右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去
掉）；
ⅱ)|)(|)(xfyxfy???———上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；
11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数)(xfy?图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心
（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数)(xfy?与)(xgy?图象的对称性，即证明)(xfy?图象
上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy?的图象上，反之亦
然；
注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x,y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,－y)=0;
曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0
③f(a+x)=f(b－x)（x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=2ba?对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）→y=f(x)图像关于直线x=a对称；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求0)(?xf的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一
个零点。
13．导数
⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作
xxfxxfxfyxxx???????????)()(lim)(00000；
⑵常见函数的导数公式:①''C0?；②1'')(??nnnxx；③xxcos)(sin''?；
④xxsin)(cos''??；⑤aaaxxln)(''?；⑥xxee?'')(；
⑦axx
aln1)(log''?
；⑧xx1)(ln''?。
⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(
2vvuvuvuvuvuuvvuvu????????????????
⑷（理科）复合函数的导数：;xuxuyy?????
⑸导数的应用：
①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”
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该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
①)(0)(xfxf???是增函数；②)(0)(xfxf???为减函数；
③)(0)(xfxf???为常数；
④利用导数求极值：
ⅰ）求导数)(xf?；ⅱ）求方程0)(??xf的根；ⅲ）列表得极值。
⑤利用导数最大值与最小值：
ⅰ）求的极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值。
第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：
?弧度?180?，1801???弧度，1弧度?)180(??''1857??
⑵弧长公式：Rl??；扇形面积公式：RlRS21212???。
2．三角函数定义:角α中边上任意一P点为),(yx,设rOP?||则：
,cos,sinrxry????xy??tan
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“纵变横不变，符号看象限”；
5．⑴)sin(????xAy
对称轴：2xk???????；对称中心：))(0,(Zkk?????；
⑵)cos(????xAy
对称轴：???kx??；对称中心：))(0,2(Zkk???????；
6．同角三角函数的基本关系：x
xxxxtancossin;1cossin22???
；
7．三角函数的单调区间：
xysin?的递增区间是????????2222????kk，)(Zk?，递减区间是
????????23222????kk，)(Zk?；
xycos?的递增区间是?????kk22，?)(Zk?，递减区间是
??????kk22，)(Zk?，
xytan?的递增区间是????????22????kk，)(Zk?。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①;sincoscossin)sin(?????????
②;sinsincoscos)cos(?????????
③
??????tantan1tantan)tan(????
。
9．二倍角公式：
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①???cossin22sin?；
②?????2222sin211cos2sincos2cos??????；
③???
2tan1tan22tan??
。
2(sincos)12sincos1sin2??????????
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin???（R2是ABC?外接圆直径）
注：①CBAcbasin:sin:sin::?；
②CRcBRbARasin2,sin2,sin2???；
③CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin???????。
⑵余弦定理：Abccbacos2222???等；
bcacbA2cos
222???等。
11.几个公式:
⑴三角形面积公式：11sin22
ABCSahabC???
；
⑵内切圆半径r=cbaSABC???2；外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa??
第四部分立体几何
1．三视图与直观图：
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=rh?2；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl?；③体积：V=31S底h
⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=lrr)(''??;
③体积：V=31（S+''''SSS?）h；
⑷球体：①表面积：S=24R?；②体积：V=334R?.
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质
定理。
⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两
平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定
定理。
注：理科还可用向量法。
4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②向量法:???ba,coscos?
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②向量法:???nAB,cossin?
（3）二面角：①几何法；②向量法:???nm,coscos?
5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）
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点到平面的距离：①等体积法；②向量法：
||||nnABd??
.
6．结论：
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则对角线长为
222cba??，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc.
⑵正方体的棱长为a，则对角线长为a3，全面积为6a2，体积V=a3.
⑶长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长。
⑷正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的：
①高：ah36?；②对棱间距离：a22；
②③内切球半径：a126；④外接球半径：a46.
第五部分直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式：)(??xxkyy???；⑵斜截式：bkxy??；
⑶截距式：1??byax；⑷两点式：
12
1
12
1xxxxyyyy?????；
⑸一般式：0???CByAx，（A，B不全为0）.
2．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；
（3）确定目标函数的最优解.
3．两条直线的位置关系：
直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注
222
111::bxkylbxkyl????2121,bbkk??121???kk21,ll有斜率
已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2的充要条件A1A2+B1B2=0.
4．几个公式
⑴设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），⊿ABC的重心G：（3,3321321yyyxxx????）；
⑵点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：
2200BA
CByAxd????；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是
2221BA
CCd???；
5．圆的方程：
⑴标准方程：①222)()(rbyax????；②222ryx??.
⑵一般方程：022?????FEyDxyx（)0422???FED
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法.
7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）
①??Rd点在圆上；②??Rd点在圆内；③??Rd点在圆外.
⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）
①??Rd相切；②??Rd相交；③??Rd相离.
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⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR?）
①???rRd相离；②???rRd外切；③?????rRdrR相交；
④???rRd内切；⑤????rRd0内含。
8、直线与圆相交所得弦长22||2ABrd??
第六部分圆锥曲线
1．定义：⑴椭圆：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF???；
⑵双曲线：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF???；⑶抛物线：|MF|=d
2．结论
⑴焦半径：抛物线：2
0pxPF??
⑵弦长公式：]4))[(1(1212212122xxxxkxxkAB????????
注：⑴抛物线：AB＝x1+x2+p；
⑵通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：
ab22
；②抛物线：2p
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：122??nymx（nm,同时大
于0时表示椭圆，0?mn时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时
21PFF?最大；
⑷双曲线中的结论：
①双曲线1
2
2
2
2??byax（a>0,b>0）的渐近线：0
2
2
2
2??byax；
②共渐进线xaby??的双曲线标准方程为??(
2
2
2
2??byax为参数，?≠0）；
③双曲线为等轴双曲线???2e渐近线为xy???渐近线互相垂
直；
⑸焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解.
3．直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？
②直线斜率不存在时考虑了吗？
③判别式验证了吗？
⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得???
???2121xyykAB
；
③解决问题.
4．求轨迹的常用方法：
（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法
（相关点法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法.
第七部分平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：
①a∥b(b≠0)?a=?b（)R???x1y2－x2y1=0；
②a⊥b(a、b≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0⑵a·b=|a||b|cos=x2+y1y2；
注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投
影；
②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。
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⑶cos=
||||baba?
；
⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线?xy1OPxOAyOB????且；
第八部分数列
1．定义：
⑴等差数列
),2(2(11n1nNnnaaaddaaannnn???????????为常数）｝｛
BnAnsbknann??????2；
⑵等比数列N)n2,(n)0(}
1n1-n2n1nn??????????aaaqqaaan｛
2．等差、等比数列性质
等差数列等比数列
通项公式dnaan)1(1???11??nnqaa
前n项和dnnnaaanSn
n2)1(2)(11?????
q
qaa
q
qaSq
naSq
n
n
n
n
?
??
?
???
??
1
1
)1(1.2
;1.1
1
1
1
时，
时，
性质①an=am+(n－m)d,①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq
③?,,,232kkkkkSSSSS??成等差③?,,,232kkkkkSSSSS??等比
④?,,,2mkmkkaaa??成等差④?,,,2mkmkkaaa??成等比
3．数列通项的求法：
⑴定义法（利用等差、等比的定义）；⑵累加法（)(1nfaann???型）；
⑶公式法：
⑷累乘法（)(1nf
aann??
型）；⑸构造法（bkaann???1型）；
⑺间接法（例如：4114
111????????nnnnnnaaaaaa
）；
⑻（理科）数学归纳法。
4．前n项和的求法：⑴分组求和法；⑵裂项法；⑶错位相减法.
5．等差数列前n项和最值的求法：
⑴
????????????????????000011nnnnaaaa或
；⑵利用二次函数的图象与性质.
第九部分不等式
1．均值不等式：
22
22babaab????
注意：①一正二定三相等；②变形，2)2(222babaab????。
an=S1(n=1)S
n－Sn-1(n≥2)
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2．绝对值不等式：||||||||||||bababa?????
3．不等式的性质：
⑴abba???；⑵cacbba????,；
⑶cbcaba?????；dcba??,dbca????；
⑷bdaccba????0,；bcaccba????0,；
,0??ba0cd??acbd??;
⑸)(00???????Nnbabann;⑹???0ba)(???Nnbann
第十部分复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R)?z=z?z2≥0；
⑵z=a+bi是虚数?b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数?a=0且b≠0(a,b∈R)；
⑷a+bi=c+di?a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则：
（1）z1±z2=(a+b)±(c+d)i；⑵z1.z2=(a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+(ad+bc)i；
⑶z1÷z2=?
????))(())((dicdicdicbia
i
dcadbcdcbdac2222?????
(z2≠0);
3．几个重要的结论：
22)1(zzzz???；(2)ii2)1(2???；(3);11;11iiiiii???????
(4)i性质：T=4；iiiiiinnnn?????????3424144,1,,1；
;03424144???????nnniiii
4．模的性质：⑴||||||2121zzzz?；⑵
||||||2121zzzz?
；⑶nnzz||||?.
第十一部分概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作BA?；
⑵事件A与事件B相等：若ABBA??,，则事件A与B相等，记作A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作BA?
（或BA?）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作BA?
（或AB）；
⑸事件A与事件B互斥：若BA?为不可能事件（???BA），则事件A
与互斥；
﹙6﹚对立事件：BA?为不可能事件，BA?为必然事件，则A与B互为
对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：
基本事件的总数包含的基本事件的个数AAP?)(
；
⑶几何概型：
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等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP?)(
；
第十二部分统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中
抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单
随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为Nn；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先
制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编
号l；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反
映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这
种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数?Nn
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数?
?????????
n
iinxnxxxnx121
1)(1；
⑵样本方差])()()[(122
2212xxxxxxnSn??????????21)(1xxnnii????
；
⑶样本标准差])()()[(122
221xxxxxxnSn??????????
=2
1)(
1xxnn
ii???
；
3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
??
?
??
?
??
??
?
n
i
n
i
ii
n
i
ii
yyxx
yyxx
r
11
22
1
)()(
))((
注：⑴r>0时，变量yx,正相关；r<0时，变量yx,负相关；
⑵①||r越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②||r接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
4．回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：
???
n
iiyy1
2)(;⑵残差：????iiiyye；
⑶残差平方和：2
1)(??
??n
iyiyi
；
⑷回归平方和：?
??
n
iiyy1
2)(－2
1)(??
??n
iyiyi
；
⑸相关指数
?
?
?
?
?
?
?
??n
i
ii
n
i
ii
yy
yy
R
1
2
1
2
2
)(
)(
1。
注：①2R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
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②2R越接近于1，，则回归效果越好。
5．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量2K越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十三部分算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
①终端框（起止况）；②输入、输出框；
③
处理框（执行框）；④判断框；⑤流
程线；
⑵程序框图分类:
①顺序结构：②条件结构：③循环结构：
注：循环结构分为：
Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句：INPUT“提示内容”；变量；输出语句：PRINT“提示内容”；
表达式
赋值语句：变量=表达式
⑵条件语句：①②
IF条件THENIF条件THEN
语句体语句体1
ENDIFELSE
语句体2
ENDIF
⑶循环语句：①当型：②直到型:
WHILE条件DO
循环体循环体
WENDLOOPUNTIL条件
第十四部分常用逻辑用语与推理证明
1．四种命题：
⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；
⑶否命题：若?p则?q；⑷逆否命题：若?q则?p
注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
2．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；
（2）利用集合间的包含关系：例如：若BA?，则A是B的充分条件或B
是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
3．逻辑连接词：
⑴且(and)：命题形式p?q；pqp?qp?q?p
⑵或（or）：命题形式p?q；真真真真假
⑶非（not）：命题形式?p.真假假真假
假真假真真
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假假假假真
4．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用?表示；
全称命题p：)(,xpMx??；
全称命题p的否定?p：)(,xpMx???。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用?表示；
特称命题p：)(,xpMx??；
特称命题p的否定?p：)(,xpMx???；
第十五部分推理与证明
1．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、
联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都
具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，
简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎
推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；
⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情
况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明⑴综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公
理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法
叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，
直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、
定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说
明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当n取第一个值0n是命题成立；
⑵假设当),(0????Nknkkn命题成立，证明当1??kn时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从0n开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步
骤进行；
③0n的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
第十六部分理科选修部分
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1．排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:mnA=n(n—1)(n—2)…(n—m＋1)=)!(!mnn?(m≤n,m、n∈N),当m=n
时为全排列nnA=n(n—1)(n—2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式：
123)2()1()1()1(!??????????????????mmmmnnnmACmnmn
（m≤n）,10??nnnCC；
⑶组合数性质：mnmnmnmnnmnCCCCC11;??????；
⑷二项式定理：
)()(1110???????????NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn??
①通项：);,...,2,1,0(1nrbaCTrrnrnr????②注意二项式系数与系数的区别；
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等；
②若n为偶数，中间一项（第2n＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，
中间两项（第21?n和21?n＋1项）二项式系数最大；
③;2;213120210?????????????????????nnnnnnnnnnnCCCCCCCC
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。
2.概率与统计
⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…；p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
Xx1X2…xn
PP1P2…Pn
期望：EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn;
方差：DX＝nnpEXxpEXxpEXx2222121)()()(?????????;
注：DXabaXDbaEXbaXE2)(;)(?????；
③二项分布（独立重复试验）：
若X～B（n,p）,则EX＝np,DX＝np（1-p）;
注：knkknppCkXP????)1()(。
⑵条件概率：称
)()()|(APABPABP?
为在事件A发生的条件下，事件B发生的概
率。
注：①0?P（B|A）?1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正态总体的概率密度函数：,,
21)(2
2
2)(Rxexfx????????式中??,是参数，
分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；
（6）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝?对
称；③曲线在x＝?处达到峰值
??21
；④曲线与x轴之间的面积为1；
①当?一定时，曲线随?质的变化沿x轴平移；
②当?一定时，曲线形状由?确定：?越大，曲线越“矮胖”，表示总体分
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布越集中；?越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P)(????????x=0.6826；P)22(????????x=0.9544
P)33(????????x=0.9974
第二篇章：经典训练题型及答案（高考压轴题型）
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
??????如：集合，，，、、AxyxByyxCxyyxABC??????|lg|lg(,)|lg
中元素各表示什么？
2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
????如：集合，AxxxBxax??????||22301
若，则实数的值构成的集合为BAa?
（答：，，）???????1013
3.注意下列性质：
??（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212aaann
（）若，；2ABABAABB??????
（3）德摩根定律：
????????????CCCCCCUUUUUUABBAAB?????，
4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa?????50352
的取值范围。
??
（∵，∴·
∵，∴·
，，）
33530
55550
153925
2
2
????
????
???
??
?
??
Maa
Maa
a?
5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()??“非”().?
若为真，当且仅当、均为真pqpq?
若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq?
若为真，当且仅当为假?pp
6.命题的四种形式及其相互关系是什么？
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（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B
中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
????例：函数的定义域是yxx
x?
?
?
4
32lg
????（答：，，，）02234??
10.如何求复合函数的定义域？
??如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()()??????0
义域是_____________。
??（答：，）aa?
11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
??如：，求fxexfxx???1().
令，则txt???10
∴xt?21
∴ftett()???2121
??∴xxxx)?????21210
12.反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
????如：求函数的反函数fxxx
xx()?
??
??
???
??
10
02
????（答：）fxxx
xx??
??
???
???
??
1110()
13.反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf
1??????()ba
????????????ffbaffbfab111()()()()，
14.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
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??（，，则（外层）（内层）yfuuxyfx???()()()??
????当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）fxfx??()()
??如：求的单调区间yxx???log1222
（设，由则uxxux??????22002
??且，，如图：log12211uux?????
u
O12x
当，时，，又，∴xuuy????(]log0112
当，时，，又，∴??[)l1212
∴……）
15.如何利用导数判断函数的单调性？
??在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxfx''()()?0
零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx''()?0
??如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxaxa?????013()
值是（）
A.0B.1C.2D.3
（令fxaxaxa''()??????????????????333302
则或xaxa???33
由已知在，上为增函数，则，即fxaa()[)1313????
∴a的最大值为3）
16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()?????
若总成立为偶函数函数图象关于轴对称y)
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注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是
偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0?
如：若·为奇函数，则实数fxaaaxx()?????2221
（∵为奇函数，，又，∴fxxRRf()()???000
即·，∴）aaa22210100?????
又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，fxxfxxx()()()()????1101241
??求在，上的解析式。fx()?11
???（令，，则，，xxfxxx????????001241()
又为奇函数，∴fxfxxxxx()()????????241214
??
又，∴
，
，
）ffx
x
x
x
x
x
x
x
()()
()
00
2
41
10
0
2
4101
??
?????
??
?
?
??
?
?
?
17.你熟悉周期函数的定义吗？
??（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx???0()()
函数，T是一个周期。）
??如：若，则fxafx??()
（答：是周期函数，为的一个周期）fxTafx()()?2
??又如：若图象有两条对称轴，fxxaxb()???
即，faxfaxfbxfb()()()()?????
则是周期函数，为一个周期xab()2
如：
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18.你掌握常用的图象变换了吗？
fxfxy()()与的图象关于轴对称?
fxx()与的图象关于轴对称?
fxx())与的图象关于原点对称?
ffxyx()()与的图象关于直线对称??1
xaxxa()与的图象关于直线对称2??
ffaxa()()()与的图象关于点，对称??20
将图象左移个单位右移个单位yfxaaaayfxayfxa?????????????????)()()()()00
上移个单位下移个单位bbbbyfxabyfxab()()()()??????????????????00
注意如下“翻折”变换：
fxfx
fxfx
()()
()(||)
???
???
??如：fxx()log??21
??作出及的图象yxyx????loglog2211
y
y=log2x
O1x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
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(k<0)y(k>0)
y=b
O’(a,b)
Ox
x=a
??（）一次函数：10ykxbk???
????（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakOab??????''()
的双曲线。
??（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxcaaxbaacba??????????????
顶点坐标为，，对称轴??????????baacbaxba24422
开口方向：，向上，函数ayacba???0442min
ayacba???0442，向下，max
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二
次方程axbxcxxyaxbxcx
212200???????，时，两根、为二次函数的图象与轴?
的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc
200????()
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程的两根都大于axbxckbak
fk
20
0
2
0
????
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
()
y
(a>0)
Okx1x2x
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一根大于，一根小于kkfk??()0
??（）指数函数：，401yaaax???
（）对数函数，5yxa?log
由图象记性质！（注意底数的限定！）
y
y=a
x
(a>1)
(01)
1
O1x
(0
??（）“对勾函数”60yxkxk???
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y
Ox
?k
k
20.你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：，aaaapp01010?????(())
aaaaamnmnmnmn?????((010))，
??对数运算：·，logloglogaaaMNMNMN????00
logloglogloglogaaaanaMNMNMnM???，1
对数恒等式：aaxlog?
对数换底公式：logloglogloglogaccanabbabnmbm???
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
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如：（），满足，证明为奇函数。1xRfxfxyfxfyfx????()()()()()
（先令再令，……）xyfyx??????000()
（），满足，证明是偶函数。2xRfxfxyfxfyfx???()()()()()
??（先令·ytttftt???????()(()
∴ftftftft()()()()?????
∴……）tft)()?
????（）证明单调性：……32212xfxxx)????
22.掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利
用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
（）123134yxx????
（）2243xx???
（），33232xyxx???
????（）设，，449302yxxx??????cos???
（），，54901yxxx???(]
23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面
积公式吗？
（·，··）扇ll?????RSRR12122
OR
1弧度
R
24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
sincostan??????MPOMAT，，
y
T
Ax
α
BS
OM
P
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第22页共47页
如：若，则，，的大小顺序是????????80sincostan
又如：求函数的定义域和值域。yx?????????122cos?
（∵）122120???????????cossin?xx
∴，如图：sinx?22
??∴，25424012kxkkZy????????????
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、
对称点、对称轴吗？
sincosxx??11，
y
x
O
?
?
2
?
2
?
ytgx?
对称点为，，kkZ?20??????
??yxkkkZ??????????sin的增区间为，2222????
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第23页共47页
??减区间为，22232kkkZ?????????????
????图象的对称点为，，对称轴为kxkkZ???02???
????yxkkkZ???cos的增区间为，2???
????减区间为，22kkZ??????
??图象的对称点为，，对称轴为kxkkZ????????????20
yxkkkZ??????????tan的增区间为，????22
??????26.y=Asinx+正弦型函数的图象和性质要熟记。或????yAx??cos
（）振幅，周期12||||AT???
??若，则为对称轴。fxxx00???
??若，则，为对称点，反之也对。000
（）五点作图：令依次为，，，，，求出与，依点202322??????xxy?
（x，y）作图象。
（）根据图象求解析式。（求、、值）3A??
如图列出
??
???
()
()
x
x
1
2
0
2
??
??
?
??
??
解条件组求、值??
???正切型函数，yAxT???tan||????
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，
再判定角的范围。
如：，，，求值。cosxxx???????????????????62232
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第24页共47页
（∵，∴，∴，∴）????????????????xxxx32766536541312
28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：函数的值域是yxx??sinsin||
????（时，，，时，，∴，）x????????02220022yxxyysin
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
（）点（，），平移至（，），则1PxyahkPxyxxhyyk????????????????()''''''''''
（）曲线，沿向量，平移后的方程为，200fxyahkfxhyk()()()?????
?
如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的yxyx??????????2241sinsin?
图象？
（横坐标伸长到原来的倍yxyx???????????????????????????????????22412212412sinsin?
????????????????????????????24142121sinsinsinxyxyx?
?左平移个单位上平移个单位
纵坐标缩短到原来的倍）12????????????yxsin
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
如：··142222???????sincossectantancotcossectan?????????
???sincos?20……称为的代换。1
“·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k???2?
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。
??如：costansin947621?????????????
又如：函数，则的值为yy???sintancoscot????
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第25页共47页
A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值
??
??（，∵）y?
?
?
?????
sinsincos
coscossin
sincos
cossin
???
???
??
???
2
2
1
100
31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
??sinsicoscossinsinsincos????????????????????令22
??coscoscossinsincoscossin??????
??
?????
?
????????
令
2
22
??tan
tantan
tantan
??
??
??
??
?
1?·
?????2112
22
cossin??
tan
tan
tan
2
2
1
2
?
?
?
?
?
cos
cos
sin
cos
2
2
12
2
12
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??ababbasincossintan??????????22，
sincossin?????????????24
sincossin?????????????323
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，
分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：
??（）角的变换：如，……1222??????????????????????????????
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
????如：已知，，求的值。sincoscostantan???????121232??????
（由已知得：，∴sincossincossintan??????21122??
??又tan????23
??????????∴·
·
）tantantantantantan?????????????????????
?
?21
2
3
1
2
12312
1
8
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜
三角形？
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第26页共47页
余弦定理：abcbcAAbcabc22222222???????coscos
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
正弦定理：aAbBcCR
aRA
bRB
cRCsinsinsin
sin
sin
sin
????
?
?
?
?
??
??
2
2
2
2
SabC??12·sin
∵，∴ABCABC????????
??∴，sinsinsincosABCABC???22
如中，?ABCABC22212sincos???
（）求角；1C
（）若，求的值。2222222abcAB???coscos
??（（）由已知式得：112112?????coscosAC
又，∴ABCCC???????2102coscos
∴或（舍）coscosCC???121
又，∴03???CC??
（）由正弦定理及得：212222abc??
223342222sinsinsinsinABC?????
21234????coscosAB
∴）scos224B???
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
??反正弦：，，，arcsinxx????????????2211
????反余弦：，，，arcosxx??011?
??反正切：，，tanxR??????????2
34.不等式的性质有哪些？
（），100abacbccacbc???????
（），2abcdacbd????
（），300dacbd?????
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第27页共47页
（），4011011abababab????????
（），50abbabnnnn????
??（），或60||||xaaaxaxaxaxa???????????
如：若，则下列结论不正确的是（）110ab?
AabBabb..222??
CbabDabba.||||||.?????
答案：C
35.利用均值不等式：
??abababRabababab222222??????????????，；；求最值时，你是否注
意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab??
?()()
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
??ababababababR22222????????，
当且仅当时等号成立。b?
??acabbccabR222??????，
当且仅当时取等号。bc?
amn????000，，，则
babmamanbnab????????1
如：若，的最大值为xxx???0234
（设yxx?????????????2342212243
当且仅当，又，∴时，）34033243xxxxy?????max
又如：，则的最小值为xyxy??2124
（∵，∴最小值为）22222222221xyxy???
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
如：证明…1121312222?????n
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第28页共47页
??（…………112131111212311222????????????nnn
?????????
???
11121213111
212
……
）
nn
n
??370.()()解分式不等式的一般步骤是什么？fxgxaa??
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
??????如：xxx????112023
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
如：对数或指数的底分或讨论aa???101
40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
例如：解不等式||xx????311
（解集为）xx|???????12
41.||||||||||会用不等式证明较简单的不等问题abbab?????
如：设，实数满足fxxxaxa()||?????2131
求证：faa()(||)???21
证明：
|()()||()()|fxfaxxaa???????221313
??????
???????
???
|()()|(||)
||||||
||||
xaxaxa
xaxaxa
xa
1
11
1
?
又，∴||||||||||xaxaxa??????11
??∴fxfaaa()()|||????2221
（按不等号方向放缩）
42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”
问题）
如：恒成立的最小值afxafx???()()
afxfx??()()恒成立的最大值
a?能成立的最小值
Gothedistance
第29页共47页
例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是xxxaa????32
（设，它表示数轴上到两定点和距离之和uxx?????3223
??uaamin??????32555，∴，即
????或者：，∴）xxa??????3255
43.等差数列的定义与性质
??定义：为常数，aaddaandnnn?????111()
等差中项：，，成等差数列xAyAxy???2
????前项和nSaannanndnn?????11212
??性质：是等差数列an
（）若，则；1mnpqaaaamnpq??????
??????（）数列，，仍为等差数列；2212aakabnnn??
SSSSSnnnnn，，……仍为等差数列；232??
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3adaad??
（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm???
??（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为5aSanbnabnnn???
0的二次函数）
??SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界??2
项，即：
当，，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000????????
当，，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000????????
如：等差数列，，，，则SaSnnnnnn???????1831123
（由，∴aaaaannnnn?????????12113331
Gothedistance
第30页共47页
??又·，∴Saaaa31322233113?????
????∴·Saanaann
nnn?
?????????????121
22
1
31
218
??n27）
44.等比数列的定义与性质
定义：（为常数，），aaqqqaaqnnnn?????1110
等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy????2
??前项和：（要注意）nS
naq
aq
qq
n
n?
?
?
??
?
??
??
1
1
1
1
11
()
()!
??性质：是等比数列an
（）若，则··1mnpqaaaamnpq????
（），，……仍为等比数列2232SSSSSnnnnn??
45.由求时应注意什么？ann
（时，，时，）naSaSSnnn?????12111
46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
??如：满足……aaaannn12212251122???????
解：
naa?????1122151411时，，∴
annn???????????22122152211时，……
??????1222得：nna
∴ann??21
∴annnn??????141221()()
［练习］
??数列满足，，求aSSaaannnnn?????111534
（注意到代入得：aSSSSnnnnn??????1114
??又，∴是等比数列，SSnn144??
nann??????23411时，……·
（2）叠乘法
Gothedistance
第31页共47页
??例如：数列中，，，求aaaannannnn1131????
解：
aaaaaannaann
n
n2
1
3
211
122311·……·……，∴
??
??
又，∴aann133??
（3）等差型递推公式
由，，求，用迭加法aafnaaannn????110()
naaf
aaf
aafnnn
???
??
??
?
?
??
?
?
?
?
22
3
21
32
1
时，
…………
两边相加，得：
()
()
()
aafffnn?????123()()……
∴……aafffnn?????023()()()
［练习］
????数列，，，求aaaanannnnn111132??????
??（）nn??1231
（4）等比型递推公式
??acadcdccdnn??????1010、为常数，，，
??可转化为等比数列，设xcaxnn????1
??????acacxn1
令，∴()cxdxdc???11
∴是首项为，为公比的等比数列adcadccn??????????111
∴·adcadcnn????????????1111
∴aadccdcnn???????????1111
［练习］
??数列满足，，求aaaannn11934???
（）ann?????????84311
（5）倒数法
例如：，，求aaaaannnn1122??
由已知得：1221211aaaannnn?????
Gothedistance
第32页共47页
∴11121aann???
????????11112
1aan
为等差数列，，公差为
?????????11112121annn·
∴n??21
47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相
反数的项。
??如：是公差为的等差数列，求adaankkkn111???
解：
????由·11111011aaaaddaadkkkkkk?????????????
∴1111
1111aadaakkk
n
kkk
n
??????
????????
??????????????????????????
?
?
?
?
?
????????
?
?
1111111
111
12231
11
daaaaaa
daa
nn
n
……
［练习］
求和：…………11123123???????????n
（…………，）aSnnn?????21
（2）错位相减法：
??????若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababnnnnn
??和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn?
如：……Sxxxnxnn????????2341231
??xSxxnxnxnnn·……???????2122341
??????????????121121：……xSxxxnxnnn
Gothedistance
第33页共47页
????xSx
xnxxn
nn???
???1
1
112时，
??xSnnnn????????112312时，……
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Saaaa
Saaaannnnnn
?????
?????
???
??
?
?
121
121
……
……相加
??????2111Saaaannnn???????…………
［练习］
已知，则fxxxfffffff()()()()()???????????????????????????2211212313414
（由fxfxxxx
x
x
xx()?
?
??
?
????
?
??
?
??
???????
?????11
1
111
1
11
2
2
2
2
2
22
∴原式???????????????????????????????????????????fffffff()()()()1212313414
?????12111312）
48.你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
????????Sprprpnrpnnnrn????????????????112112…………等差问题
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——
分期等额归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期
（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按
复利），那么每期应还x元，满足
??????prxrxrxrxnnn()111112?????????……
????????????
???
?
????
??xrrxrrnn11111
????∴xprr
r
n
n?
?
??
1
1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（）分类计数原理：……112Nmmmn???
（为各类办法中的方法数）mi
Gothedistance
第34页共47页
分步计数原理：·……Nmmmn?12
（为各步骤中的方法数）mi
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序
排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为nmAn
m.
??????????Annnmnnmmnn????????121……!!
规定：0!1?
（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从
n个不
同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为mCnm.
??????CAAnnnmnmnmnmnm
mm
???????11……!!!!
规定：Cn01?
（）组合数性质：4
CCCCCCCnmnnmnmnmnmnnnnn??????????，，……11012
50.解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；
至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结
果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
??xixxxxi?????899091929312341234，，，，，，，，且满足，()
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）
A.24B.15C.12D.10
解析：可分成两类：
（）中间两个分数不相等，1
有（种）C545
（2）中间两个分数相等
xxxx1234???
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，
∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51.二项式定理
()abCaCabCabCabCbnnnnnnnnrnrrnnn???????????011222……
二项展开式的通项公式：，……TCabrnrnrnrr????101()
Gothedistance
第35页共47页
Cnr为二项式系数（区别于该项的系数）
性质：
??（）对称性：，，，……，1012CCrnnrnnr???
（）系数和：…2Cnnnnn012????
CCCCCnnnnnn13502412???????……
（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
nCnnn2112????????项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()
系数最大即第项及第项，其二项式系数为nnCCnnnn??????121211212
??如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为（用数字x?111
表示）
（∵＝n11
∴共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项1212267?
由，∴取即第项系数为负值为最小：Cxrr1111156???()?????C116115426
????又如：……，则122004012220042004??????xaaxaxaxxR
????????aaaaaaaa01020302004?????????……（用数字作答）
（令，得：xa??010
令，得：……xaaa?????11022004
??∴原式……）?????20032003112004012004aa
52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（）必然事件，，不可能事件，110??PP???)()??
（）包含关系：，“发生必导致发生”称包含。2ABABBA?
AB
（）事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与3ABABABAB??
Gothedistance
第36页共47页
的和（并）。
（）事件的积（交）：·或“与同时发生”叫做与的积。4ABABABAB?
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
A·??
（6）对立事件（互逆事件）：
“不发生”叫做发生的对立（逆）事件，AAA
AAA?????，?
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫
做相互独立事件。
BABABAB与独立，与，与，与也相互独立。
53.对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
PAAmn()??包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数
??（）若、互斥，则2ABPABPAPB???()()
??????（）若、相互独立，则··3PABPAPB?
（）41PAPA()()??
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A
恰好发生
??k次的概率：PkCppnnkknk()???1
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
Gothedistance
第37页共47页
PCC142
102
215????????
（2）从中任取5件恰有2件次品；
PCCC24263
105
1021????????
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
∴·mC??32213464
∴··P3322334641044125??
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
∴，nAmCAA??105425263
∴PAAA44252631051021
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问
题。
54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个
数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，
它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层
按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的
概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平
均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
??（）算数据极差；1xxmaxmin?
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
其中，频率小长方形的面积组距×频率组距??
??样本平均值：……xnxxxn????112
???????样本方差：……Snxxxxn222221???????
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机
抽样，则组成此参赛队的概率为____________。
（）CCC10452156
56.你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
Gothedistance
第38页共47页
（）向量的模——有向线段的长度，2||a?
（）单位向量，3100||||aaaa??
?
???
（）零向量，4000???||
（）相等的向量长度相等方向相同5???????ab
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
babba?????????∥存在唯一实数，使()0??
（7）向量的加、减法如图：
OAOBOC????
BA?
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
ee
??12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量????12112212aeeee
???????
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
ijxy
??，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得
Gothedistance
第39页共47页
??axiyjxyaaxy????????，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()
表示。
????设，，，axybxy????1122
??????则，，，bxyyxyxy???????11121122
????????axyxy???1111，，
????若，，，AxyBx1122
??则，ABxxyy????2121
????||ABxxyyAB????212212，、两点间距离公式
57.平面向量的数量积
（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab???????||||cos?
?????为向量与的夹角，，ab??0
B
?b
O?
DA
?a
数量积的几何意义：
ababab???·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos?
（2）数量积的运算法则
①··abba???
②··()acacbc?????????
????③·，·，abxxyxy???1122112
注意：数量积不满足结合律····()()abcabc???????
????（）重要性质：设，，，31122axyxy???
①⊥···ababxxyy?????????001212
②∥··或··ababab???????||||||||
?????（，惟一确定）0
??xyxy12210
③，··aaxyabab??????????21212||||||||
④···cos||||??????
??
??
ab
ab
xxyy
xyxy12112122222
［练习］
Gothedistance
第40页共47页
（）已知正方形，边长为，，，，则11ABCDABaBCbACc?????????
||abc??????
答案：
22
????（）若向量，，，，当时与共线且方向相同214axbxxab???????
答案：2
（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603ababo??????||
答案：
13
58.线段的定比分点
??????设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在PxyPxyPxyPPP11122212l
l上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段PPPPPPP1212??????
PPPPPPPP12121200???所成的比（，在线段内，，在外），且??
xxx
yyy
PPP
xxx
yyy
???
???
?
?
??
?
??
??
??
?
?
??
?
??
12
12
12
12
12
1
1
2
2
?
?
?
?
，为中点时，
??????如：，，，，，，?ABCxyBxyCxy112233
则重心的坐标是，?ABCGxxxyyy12312333??????????
※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质
线∥线线⊥面面∥面
??????
??????????????
??????
线面平行的判定：
abbaa∥，面，∥面??????
a
b
??
线面平行的性质：
Gothedistance
第41页共47页
??????∥面，面，∥????bab
三垂线定理（及逆定理）：
PAAOPO⊥面，为在内射影，面，则??a?
aOAaPOaPOaAO⊥⊥；⊥⊥??
??
a
P
O
线面垂直：
abacbcbcOa⊥，⊥，，，⊥??????
a
O
αbc
面面垂直：
aa⊥面，面⊥??????
面⊥面，，，⊥⊥?????????llaaa
αa
l
β
abab⊥面，⊥面∥???
面⊥，面⊥∥????aa
ab
??
60.三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
??＝时，∥或0bob
Gothedistance
第42页共47页
（）二面角：二面角的平面角，30180????????loo
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则
AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直
线。
证明：·coscoscos????
A
OB
????????????????????????C?
D
α
θ
β
（为线面成角，∠，∠）???AOC=BOC=
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1
所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD1和AD所成的角；
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
D1C1
A1B1
H
G
DC
AB
Gothedistance
第43页共47页
（①；②；③）arcsinarcsin346063o
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求
面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
PF
DC
AEB
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD
与面PAB的交线……）
61.空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三
垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1的距离为___________；
（2）点B到面ACB1的距离为____________；
（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；
（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；
（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
DC
AB
D1C1
A1B1
62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：
RtSOBRtSOERtBOERtSBE????，，和
它们各包含哪些元素？
SChCh
正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）?12''''
V
锥底面积×高?13
Gothedistance
第44页共47页
63.球有哪些性质？
（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122rRd??
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（），
球球444323SRVR????
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切
球半径r之比为R：r＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2
积为（）
ABCD....34336????
答案：A
64.熟记下列公式了吗？
??（）直线的倾斜角，，，102212112l??????????????????kyyxxxxtan
??????PxyPxyak1112221，，，是上两点，直线的方向向量，ll??
（2）直线方程：
??点斜式：（存在）yykxxk???00
斜截式：ykxb??
截距式：xayb??1
一般式：（、不同时为零）AxByCAB???0
??（）点，到直线：的距离30000022PxyAxByCdAxByCABl???????
（）到的到角公式：4
1122112lltan????kkkk
ll
1221121与的夹角公式：tan????kkkk
65.如何判断两直线平行、垂直？
ABAB
ACAC1221122112??????ll∥
kkl1212??l∥（反之不一定成立）
Gothedistance
第45页共47页
AABB1212120???ll⊥
kk12121·⊥???ll
66.怎样判断直线l与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？
联立方程组关于（或）的一元二次方程“”
相交；相切；相离????????xy????000
68.分清圆锥曲线的定义
第一定义
椭圆，
双曲线，
抛物线
?????
?????
??
?
?
??
???
PFPFaacFF
PFPFaacFF
PFPK
1212
1212
222
222
第二定义：ePF
PKca??
0111???????eee椭圆；双曲线；抛物线
y
b
O
F1F2ax
x
a
c
?
2
??xaybab222210????
??c2??
??xaybab2222100????，
Gothedistance
第46页共47页
??cab222??
F
k
e>1e=1
0
??691022222222.与双曲线有相同焦点的双曲线系为xaybxayb???????
70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数
是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△
≥0下进行。）
??????弦长公式PPkxxxx1221221214????
??????????????114212212kyyyy
71.会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
y
P(x0,y0)
K
F1OF2x
l
xayb22221??
PFPKePFexacexa2
20
2
0???????????，
PFex10?
y
AP2
OFx
P1
B
??ypxp220??
Gothedistance
第47页共47页
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。
如：椭圆与直线交于、两点，原点与中点连mxnyyxMNMN
2211????
线的斜率为，则的值为22mn
答案：
mn?22
73.如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，
y）为曲线C上任意一点，设A''（x''，y''）为A关于点M的对称点。
（由，，）axxbyyxaxyby?????????''''''''2222
??只要证明，也在曲线上，即AaxbyCfxy''('')''2???
（）点、关于直线对称⊥中点在上2AAAAAA''''''lll????
??????kkAAAA''''·中点坐标满足方程ll1
74222.cossin圆的参数方程为（为参数）xyrxryr??????????
椭圆的参数方程为（为参数）x
aybxayb
2
2
2
21??
????
?
cossin???
75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域
内平移直线，求出目标函数的最值。
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