1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．请注意本节也是高考的热点内容，尤其是逻辑联结词和含有量词命题的否定是重点，多以选择题形式出现，属基础题．1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2．全称量词和存在量词(1)全称量词有： ， ，，用符号“”表示．存在量词有：， ， ，用符号“”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做 ；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ，读作：“ ”．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为： ，读作：“”．3．含有一个量词的命题的否定1．(课本习题改编)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是()A．所有奇数的立方都不是奇数B．不存在一个奇数，它的立方是偶数C．存在一个奇数，它的立方是偶数D．不存在一个奇数，它的立方是奇数答案C解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．2．(2014·湖南理)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨p；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案C解析由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.答案D4．(2014·天津文)已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为()A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤1答案B解析“?x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B.5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．?x∈R，f(x)≤f(x0) B．?x∈R，f(x)≥f(x0)C．?x∈R，f(x)≤f(x0) D．?x∈R，f(x)≥f(x0)答案C例1写出由下列各组命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．【解析】(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根，真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根，假命题．綈p：1不是素数，真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题．p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假命题．綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同，真命题．【答案】(1)p∨q真，p∧q假，綈p真(2)p∨q假，p∧q假，綈p真(3)p∨q假，p∧q假，綈p真探究1(1)判断一个复合命题的真假往往用真值表，一般先确定复合命题的构成形式，然后根据简单命题的真假和真值表得出结论．(2)p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”． 已知命题p：若t≠3且t≠－3，则t2≠9；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|12或x<1时满足．(6)假命题，因为不存在一个实数x使x2＋1＝0成立．【答案】(1)真(2)假(3)真(4)假(5)假(6)假(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0成立．(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.【答案】(1)(2)(4)否定为假，(3)否定为真探究3(1)全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则是直接否定结论即可．(2)常见词语的否定形式有： 写出下列命题的否定并判断真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆．【思路】首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同形式加以否定．【解析】(1)綈p：存在末位数字是0和5的整数不能被5整除，假命题．(2)綈p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)綈p：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题．(4)綈p：所有的四边形都有外接圆，假命题．【答案】(1)(4)否定为假，(2)(3)否定为真例4已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．【思路】(1)已知的两个命题是全称命题和特称命题．(2)根据“p∧q”是真命题来确定a的不等式，从而求出a的取值范围．【解析】由“p∧q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题，若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴x2∈[1,4]，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.【答案】a≤－2或a＝1探究4(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．(2)对全称命题可转化为恒成立问题． 【答案】(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)1．命题的否定与否命题的区别：否命题是既否定其条件，又否定结论；而命题p的否定即非p，是只否结论不否条件．2．命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假；而否命题与原命题的真假无必然联系．3．含一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论．1．下列命题的否定是真命题的是()A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案B2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题C．綈p是真命题 D．綈q是真命题答案D解析只有綈q是真命题．3．(2015·梅州质检)下列命题中的假命题是()A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N，(x－1)2>0C．?x∈R，lnx<1 D．?x∈R，tanx＝2答案B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.4．(2014·安徽文)命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．?x∈R，|x|＋x2<0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0C．?x0∈R，|x0|＋x<0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0答案C解析?x∈R，|x|＋x2≥0的否定是?x0∈R，|x0|＋x<0.故选C.5．在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案A解析命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.答案[－1,2]思考题3题型四应用问题思考题4高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第一章集合与简易逻辑第一章集合与简易逻辑第3课时逻辑联结词与量词假假真假假真真真綈pp∨qp∧qqp真真假假真假假真真假假真一切每一个任给?有些有一个对某个?全称命题?x∈M，p(x)对任意x属于M，有p(x)成立?x0∈M，p(x0)存在M中的元素x0，使p(x0)成立?x∈M，綈p(x)?x0∈M，p(x0)?x0∈M，綈p(x0)?x∈M，p(x)命题的否定命题题型一含逻辑联结词的命题及真假思考题1题型二全(特)称命题及真假判断思考题2题型三含量词命题的否定存在x0∈A使p(x0)假至少有两个一个也没有≤不都是不是否定形式对任意x∈A使p(x)真至多有一个至少有一个>都是是原语句高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第一章集合与简易逻辑课前自助餐
受人以渔
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题组层级快练
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3．命题“x∈R，()x>0”的否定是()
A．x0∈R，()x0<0 B．x0∈R，()x≤0
C．x0∈R，()x<0 D．x0∈R，()x0≤0
解析全称命题“x∈R，()x>0”的否定是把量词“”改为“”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.
解析由题知：x0＝－为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，选C.
授人以渔
(4)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“x∈Q，x2＝3”是假命题．
例3写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】(1)綈p：x0∈R，x－x0＋＜0，是假命题．
因为x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．
【解析】因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时<0，即20，解得x>1或x<－3.
由得x≥3或1
所以x的取值范围是x≥3或1
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6．已知命题p：x∈[0，]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．
解析令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，由于x[0，]，所以cosx[0,1]．于是f(x)[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．
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