1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．请注意定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等．1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(2)基本初等函数的定义域：①整式函数的定义域为R.②分式函数中分母 .③偶次根式函数被开方式 .④一次函数、二次函数的定义域均为R.⑤函数f(x)＝x0的定义域为 ．⑥指数函数的定义域为R.对数函数的定义域为 ．2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 ．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.1．(2014·江西理)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案C解析要使f(x)＝ln(x2－x)有意义，只需x2－x＞0，解得x＞1或x＜0.∴函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．2．(课本习题改编)下表表示y是x的函数，则函数的值域是()A.[2,5] B．NC．(0,20] D．{2,3,4,5}答案D解析由表知函数值只有2,3,4,5四个数，故值域为{2,3,4,5}．答案B4．函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________．答案(－∞，0]解析设u＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1≥1，∴log0.3u≤0，即y≤0，∴y∈(－∞，0]．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】由log0.5(x－1)>0，得01时，由loga(x－1)>0，得x－1>1，∴x>2.当00，得01时为(2，＋∞)；当01时为(2，＋∞)；当0
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(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．
{y|y≥}
{y|y≤}
(3)y＝(k≠0)的值域是．
{y|y≠0}
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)(1,4] D．(0,1)
解析y＝f(x)的定义域为[0,2]，
g(x)的定义域需满足
解得0≤x<1，故选B.
5．函数y＝的值域为________．
解析方法一：判别式法
由y＝，得x2＋(1－y)x＋1－y＝0.
x∈R，x≠－1，Δ＝(1－y)2－4(1－y)≥0.
解得y≤－3或y≥1.
当y＝－3时，x＝－2；当y＝1时，x＝0.
所以，函数的值域为(－∞，－3][1，＋∞)．
方法二：分离常数法
y＝＝＝(x＋1)＋－1，
又(x＋1)＋≥2或(x＋1)＋≤－2，
y≥1或y≤－3.
函数的值域为(－∞，－3][1，＋∞)．
授人以渔
例1(1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
(3)函数f(x)＝的定义域为________．
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
解得x＜－.
函数f(x)的定义域为{x|x＜－}．
【答案】{x|x<－}
求函数y＝＋lgcosx的定义域．
【解析】由
得
所以函数的定义域为[－5，－π)(－，)(，5]．
【答案】[－5，－π)(－，)(，5]
【解析】(1)由0≤2x－1≤1，得≤x≤1.
函数f(2x－1)的定义域为[，1]．
【答案】(1)[，1](2)[－1,1]
【解析】由题意知－1<2x＋1<0，则－1
【答案】(－1，－)
【解析】对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，
2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f(log2x)，2－1≤log2x≤2，
≤x≤4.
故y＝f(log2x)的定义域为[，4]．
【答案】[，4]
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝x＋＋1；
(4)y＝x－；
(5)y＝x＋；
(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.
【解析】(1)方法一：分离常数法
y＝＝－1＋，
x2≥0，x2＋1≥1，0<≤2.
∴－1<－1＋≤1.
即函数值域为(－1,1]．
方法二：反解法
由y＝，得x2＝.
x2≥0，≥0.
∴－1
(2)配方法：y＝，
0≤y≤，值域为[0，]．
(3)方法一：基本不等式法
由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋.
＝|x|＋≥2＝2，
|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.
方法二：判别式法
由y＝x＋＋1，得x2＋(1－y)x＋1＝0.
方程有实根，Δ＝(1－y)2－4≥0.
即(y－1)2≥4，y－1≤－2或y－1≥2.
得y≤－1或y≥3.
方法三：导数法(单调性法)
令y′＝1－＝<0，
定义域为{x|x≤}，函数y＝x，y＝－均在(－∞，]上递增，故y≤－＝.
方法二：换元法
令＝t，则t≥0，且x＝.
y＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)．
∴y∈(－∞，]．
函数值域为(－∞，]．
∴设x＝2cosθ(θ[0，π])，则y＝2cosθ＋＝2cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋)．
θ＋[，]，
sin(θ＋)[－，1]，y∈[－2,2]．
方法二：数形结合法
y＝
画出此分段函数的图像如图，可知值域为[3，＋∞)．
【答案】(1)(－1,1](2)[0，]
(3)(－∞，－1][3，＋∞)(4)(－∞，]
(5)[－2,2](6)[3，＋∞)
A．y＝x2－x＋1 B．y＝x＋(x>0)
C．y＝esinx D．y＝(x＋1)－
【解析】y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
y≥，排除A项．
又y＝x＋≥2(x>0)，故排除B项．
∵－1≤sinx≤1，y＝esinx[，e]．
排除C项．
(2)函数y＝的值域为________．
【解析】方法一：y＝＝＋≥2，
值域为[2，＋∞)．
【讲评】该解法是错的，因为当且仅当＝时等号成立，而此时x2＝－1，这不可能．所以y≥2的结论是错的，此例告诫我们，利用基本不等式求值域，一定要考查等号是否成立．
方法二：设＝t(t≥)，则y＝t＋，即t2－ty＋1＝0，t∈R，Δ＝y2－4≥0，y≥2或y≤－2(舍去)．
【讲评】显然这种解法也是错的，问题也是出在等号上，因为当y＝2时，t＝1[，＋∞)，所以等号不能成立，这就告诉我们，利用判别式法求值域时，要注意“Δ≥0”中的等号能否成立，若等号成立时，对应自变量的取值在其定义域内，则此法正确，否则，此法失效．
方法三：令＝t(t≥)，则y＝t＋＝(－)2＋2≥2，此解法仍是错的，原因也是出在等号不成立上．
【讲评】总之利用基本不等式法、判别式法、配方法求值域时，都要考查“等号”能否成立．
方法四：易证y＝t＋在t≥时是增函数，所以t＝时，ymin＝，故y[，＋∞)．
【答案】[，＋∞)
2．形如y＝(其中a1，a2不全为0且a2x2＋b2x＋c2≠0)的函数可用判别式法．
3．形如y＝ax＋b±(a，b，c，d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法．
4．形如y＝(c≠0)或y＝或y＝的函数，可用反函数法或分离常数法．
5．形如y＝x＋(k>0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法．
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1．函数y＝的定义域是()
2．(2013·广东文)函数y＝的定义域是()
解析由题意得选C.
A．R B．[－1,1]
C．[－，] D．[－sin1，sin1]
4．函数y＝2的值域为________．
答案{y|y＞0且y≠}
解析u＝＝－1＋≠－1，y≠，又y＞0，值域为{y|y＞0且y≠}．
答案[1，＋∞)；
6．若函数y＝的定义域是(－∞，1)[2,5)，则其值域为________．
答案(－∞，0)(，2]
解析x<1或2≤x<5，x－1<0或1≤x－1<4.
<0或<≤2.即y<0或
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