1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．请注意函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.?x1，x2∈D，且 ，b.计算 并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的 函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是 ．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是 ．(4)奇函数在对称区间上的单调性 ，偶函数在对称区间上的单调性 ．(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ，值域为 ．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有 ，②存在x0∈I，使得 ，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)函数y＝|x|是R上的增函数．(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．(课本习题改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1,3]，则其单调递减区间为________；f(x)min＝________.答案(1)(－∞，－1)，(－1，＋∞)(2)(－1,1]4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的单调递增区间________；单调递减区间________．答案(－∞，－2)，(4，＋∞)解析先求函数的定义域，令x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，通过图像得函数u＝x2－2x－8，在x＞4时，单调递增，在x＜－2时递减，所以原函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)在(4，＋∞)上递减，在(－∞，－2)上递增．讲评求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，在定义域的基础上，划分单调增(减)区间，因此，函数的单调区间应是定义域的子集．5．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有()A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)0，∴a>－b，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴选A.【答案】略探究1(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．【答案】(1)略(2)00，∴－30.这样问题就转化为求g(x)的最小值φ(a)，从而得到关于a的不等式，解之即可．g(x)＝(x＋1)2＋a－1，对称轴为x＝－1，且开口向上．所以g(x)在[1，＋∞)上递增．所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝3＋a.由3＋a>0，得a>－3.探究3(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系：若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 例4(1)已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则实数a的取值范围是________．【解析】设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，【答案】(1,2)(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－2)＜3.【解析】∵f(2)＋f(2)＝f(4)，f(2)＝1，∴f(4)＝2.∴3＝2＋1＝f(4)＋f(2)＝f(8)．∵f(x)＋f(x－2)＝f[x(x－2)]，∴原不等式为f[x(x－2)]＜f(8)．根据函数的定义域和单调性有【答案】{x|2＜x＜4}探究4已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用． (1)已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x2＋2x＋3)0，∴x2＋2x＋3<6.∴x2＋2x－3<0，∴－30 D．b<0答案AA．k＝0 B．k>0C．k<0 D．k≥0答案BA．有最大值 B．有最小值C．是增函数 D．是减函数答案A答案②③6．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.答案－6解析画图知a＝－6.求函数最值的常用方法1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．例1已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．【思路】将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量ex＋e－x的二次函数．【解析】y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．3．不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值．【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性，这是问题的关键．5．导数法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例5函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．【解析】因为f′(x)＝3x2－12，所以令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2(舍去)．又f(－3)＝10，f(－2)＝17，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为17，最小值为1.【讲评】①利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)，f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．②函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．6．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．【思路】本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．7．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．`【思路】本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．【解析】由|x＋1|≥|x－2|，8．线性规划法线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：①由条件写出约束条件；②画出可行域，并求最优解；③根据目标函数及最优解，求出最值．例8已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于________，最大值等于________．【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．题型三利用单调性求最值思考题3题型四单调性的应用思考题4高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第3课时函数的单调性和最值?x1，x2＜x1
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题组层级快练
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答案[，3]，－15
3．(1)函数y＝的单调递减区间是______________；
(2)函数y＝的单调递减区间是________．
解析(1)y＝＝－1＋，
当1＋x＞0或1＋x＜0时，此函数均为减函数，故减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)．
(2)由≥0，得x(－1,1]，此即为递减区间．
授人以渔
例1已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
【解析】证明：设x1，x2是任意两个正数，且0
则f(x1)－f(x2)
＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1x2－a)．
当0
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
【解析】(1)证明任设x1
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，f(x1)
f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
已知f(x)＝(x≠a)．
(2)解任设1
f(x1)－f(x2)＝－＝.
a>0，x2－x1>0，
要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，a≤1.
综上所述知0
(2)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)；
(3)y＝x－lnx.
【解析】(1)f(x)＝
(2)令u＝－x2＋4x＋5，则f(x)＝logu.
u>0，－1
又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同增异减，
故f(x)的单调递增区间为(2,5)；单调递减区间为(－1,2]．
(3)由题意，得x>0.
y′＝1－＝.
(2)f(x)＝；
(3)y＝3x2－6lnx.
【解析】(1)f(x)＝画图知单调递增区间为(－∞，1]．
(3)y′＝6x－＝.
定义域为(0，＋∞)，
由y′>0，得x>1，单调递增区间为(1，＋∞)．
由y′<0，得0
例3已知f(x)＝，x[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，
联想到g(x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)
＝.
∵1≤x11，2x1x2－1>0.
又x1－x2<0，
f(x1)
f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)用等价变换和函数思想解题．
在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立x2＋2x＋a>0恒成立．
【答案】(1)(2)a>－3
求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最值．
【解析】方法一：设1≤x1
f(x2)－f(x1)＝x2－－(x1－)
＝x2－x1＋－＝x2－x1＋
＝(x2－x1)(1＋)，
∵1≤x10.
f(x)＝x－在[1,3]上为增函数．
最小值为f(1)＝0，最大值为f(3)＝.
方法二：在[1,3]上，y＝x为增函数，y＝为减函数，
y＝x－为增函数，以下同方法一．
【答案】最小值为f(1)＝0，最大值为f(3)＝
∴得a<2.
综上得1
?2＜x＜4.
原不等式的解集为{x|2＜x＜4}．
(2)已知f(x)＝是R上的增函数，那么实数a的取值范围是________．
【解析】依题意得
解得a的取值范围是≤a<2.
【答案】[，2)
3．对于对勾函数y＝x＋(a>0)，单调递增区间：(－∞，－]，[，＋∞)；单调递减区间：[－，0)，(0，]．
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A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
解析A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．
3．若函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，则实数k的取值范围是()
解析f(x)＝－1在(－∞，0)上单调递减，k>0.
4．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)()
解析当x<0时，－x>0，－(2x＋)＝(－2x)＋(－)≥2＝2，即2x＋≤－2，2x＋－1≤－2－1，即f(x)≤－2－1，当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，此时函数f(x)有最大值，选A.
5．给定函数y＝x，y＝log(x＋1)，y＝|x－1|，y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上是单调递减的函数的序号是________．
7．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案(1，)
解析当a>1且x2－ax＋有最小值时，f(x)才有最小值loga，?1
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例2(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________．
【解析】设＝t(t≥0)，
x＝1－t2.
y＝x＋2＝1－t2＋2t
＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.
当t＝1即x＝0时，ymax＝2.
(2)求函数y＝x－的值域．
【解析】换元法：由4－x2≥0，得－2≤x≤2，设x＝2cosθ(θ[0，π])，则y＝2cosθ－＝2cosθ－2sinθ＝2cos(θ＋)，θ＋[，]，
cos(θ＋)[－1，]，y∈[－2，2]．
a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；≥(a≥0，b≥0)；
ab≤()2≤(a，b为实数)．
例3设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
【解析】因为x－2y＋3z＝0，
所以y＝，所以＝.
又x，z为正实数，所以由基本不等式，
得≥＝3.
当且仅当x＝3z时取“＝”．
故的最小值为3.故填3.
例4设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
【解析】a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.loga2＝，a＝4.故填4.
例6已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为()
A.B.
C. D.
【解析】由题意，得
所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}．
两边平方，得y2＝4＋2·
＝4＋2.
所以当x＝－1时，y取得最大值M＝2；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，选C.
【讲评】对于形如y＝＋的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y2＝(a＋b)＋2的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．
例7对a，bR，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(xR)的最小值是________．
得(x＋1)2≥(x－2)2.所以x≥.
所以f(x)＝
其图像如图所示．
由图形易知，当x＝时，函数有最小值，
所以f(x)min＝f()＝|＋1|＝.
【解析】由题意，得点P(x，y)的坐标满足
画出可行域，如图所示．
由条件，得A(2,2)，|OA|＝2；
B(1,3)，|OB|＝；
C(1,1)，|OC|＝.
故|OP|的最大值为，最小值为.
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