第章单元测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．函数y＝的定义域为()
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1,2)(2，＋∞) D．(1,2)[3，＋∞)
答案C
解析由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1,2)(2，＋∞)．
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是()
A．y＝ex B．y＝sinx
C．y＝ D．y＝lnx2
答案D
解析y＝sinx在整个定义域上不具有单调性，排除B；y＝，y＝ex为(0，＋∞)上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A，C；y＝lnx2满足题意，故选D.
3．已知f(x)＝则f(2016)等于()
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案D
解析f(2016)＝f(1)＝f(1－5)＝f(－4)＝log24＝2.
4．已知a＝3，b＝log，c＝log3，则()
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
答案A
解析因为a＝3>1，b＝log＝log32(0,1)，c＝log3<0，所以a>b>c，故选A.
5．函数y＝2－|x|的单调递增区间是()
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．非奇非偶函数
答案B
解析画出y＝2－|x|的图像如图：
故选B.
6．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是()
答案C
解析f(x)＝1＋log2x的图像可由f(x)＝log2x的图像上移1个单位得到，且过点(，0)，(1,1)，由指数函数性质可知g(x)＝21－x为减函数，且过点(0,2)，故选C.
7．函数f(x)＝－6＋2x的零点一定位于区间()
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(5,6)
答案B
解析f(1)＝－3<0，f(2)＝－<0，f(3)＝>0，故选B.
8．设f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－1)＝f(3)，则()
A．f(1)＞c＞f(－1) B．f(1)＜c＜f(－1)
C．f(1)＞f(－1)＞c D．f(1)＜f(－1)＜c
答案B
解析由f(－1)＝f(3)，得－＝＝1.
所以b＝－2，则f(x)＝x2＋bx＋c在区间(－1,1)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)．而f(0)＝c，所以f(1)＜c＜f(－1)．
9．函数f(x)＝x2＋|x－2|－1(xR)的值域是()
A．[，＋∞) B．(，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[3，＋∞)
答案A
解析(1)当x≥2时，f(x)＝x2＋x－3，此时对称轴为x＝－，f(x)[3，＋∞)．
(2)当x<2时，f(x)＝x2－x＋1，
此时对称轴为x＝，f(x)[，＋∞)．
综上知，f(x)的值域为[，＋∞)．
10．设M为实数区间，a>0且a≠1，若“aM”是“函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是()
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(0,1) D．(0，)
答案D
解析因为y＝|x－1|在(0,1)上是减函数，则f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上单调递增的充要条件是0
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是()
A．0 B．0或－
C．－或－ D．0或－
答案D
解析f(x＋2)＝f(x)，T＝2.
又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图像如图．
显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两不同的公共点．
另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y′＝(x2)′＝2x＝1，x＝.
A(，)，又A点在y＝x＋a上，a＝－，选D.
12．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为()
A.，0 B．－2,0
C. D．0
答案D
解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝.又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知f(x)＝ax－，f(lga)＝，则a的值为________．
答案10或10－
解析alga－＝，两边取10为底的对数，得(lga－)lga＝，解得lga＝1或lga＝－，故a＝10或a＝10－.
14．若函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是________．
答案－1≤a≤0
解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2，
若f(x)在[0,1]上最大值是a2，
则0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
15．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f(log5)的值等于________．
答案1
解析由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．
因为log5(－2，－1)，log5＋2＝log(0,1)，
又f(x)为偶函数且x[－1,0]，f(x)＝3x＋，
所以当x[0,1]时，f(x)＝3－x＋.
所以f(log5)＝f(log5＋2)＝f(log)＝3－log＋＝3log3＋＝＋＝1.
16．已知f是有序数对集合M＝{(x，y)|xN}上的一个映射，正整数数对(x，y)在映射f下的象为实数z，记作f(x，y)＝z.对于任意的正整数m，n(m>n)，映射f由下表给出：
(x，y) (n，n) (m，n) (n，m) f(x，y) n m－n m＋n 则f(3,5)＝________，使不等式f(2x，x)≤4成立的x的集合是________．
答案8{1,2}
解析由f(n，m)的定义可知f(3,5)＝5＋3＝8.显然2x>x(xN)，则f(2x，x)＝2x－x≤4，得2x≤x＋4，只有x＝1和x＝2符合题意，所以f(2x，x)≤4的解集为{1,2}．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝16，求相应x的值．
答案(1)f(x)的单调递增区间为(－2,0)，(2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，－2]，(0,2]
(2)－6或6
解析(1)当x<0时，f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2,0)上单调递增；当x>0时，f(x)在(0,2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
综上，f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)；单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．
(2)当x<0时，f(x)＝16，即(x＋2)2＝16，解得x＝－6；
当x>0时，f(x)＝16，即(x－2)2＝16，解得x＝6.
故所求x的值为－6或6.
18．(本小题满分12分)
已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，求函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)的最大值与最小值．
答案最大值为7，最小值为2
解析g(x)＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2)＝logx＋4log2x＋2＝(log2x＋2)2－2，
1≤x≤4且1≤x2≤4，1≤x≤2.∴0≤log2x≤1.
∴当x＝2时，最大值为7，当x＝1时，最小值为2.
19．(本小题满分12分)
如图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图像，图2是函数f(x)＝loga(x＋b)的部分图像．
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上是单调递减函数，求m的取值范围．
答案(1)f(x)＝－2x2＋4xg(x)＝log2(x＋1)
(2)1
解析(1)由题图1得，二次函数f(x)图像的顶点坐标为(1,2)，故可设函数f(x)＝a(x－1)2＋2.又函数f(x)的图像过点(0,0)，故a＝－2，整理得f(x)＝－2x2＋4x.
由题图2得，函数g(x)＝loga(x＋b)的图像过点(0,0)和(1,1)，故有
∴g(x)＝log2(x＋1)．
(2)由(1)得y＝g[f(x)]＝log2(－2x2＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数，
而y＝log2t在定义域上单调递增，要使函数y＝g[f(x)]在区间[1，m)上单调递减，必须使t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立．
又其对称轴x＝＝1，且由t＝0，得x＝.
故1
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lg(x＋1)．
(1)若0
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x[1,2]时，求函数y＝g(x)的解析式．
答案(1)－
解析(1)由得－1
由0
得1<<10.因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－
由得－
(2)当x[1,2]时，2－x[0,1]，因此
y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)．
21．(本小题满分12分)
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
答案(1)W＝
(2)当年产量为9千件时，年利润最大38.6万元
解析(1)当0
W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；
当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
W＝
(2)当0
得x＝9，且当x(0,9)时，W′>0；
当x(9,10)时，W′<0，
当x＝9时，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－·93－10＝38.6.
当x>10时，
W＝98－(＋2.7x)≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38.
故当x＝时，W取最大值38.
综合知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
22．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
答案(1){x|x>1或x<－4}(2)－2
解析f(x)是定义域为R的奇函数，
f(0)＝0，k－1＝0，k＝1.
(1)f(1)>0，a－>0.
又a>0且a≠1，a>1.
∵k＝1，f(x)＝ax－a－x.
当a>1时，y＝ax和y＝－a－x在R上均为增函数，
f(x)在R上为增函数．
原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，
x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0.
x>1或x<－4.
不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．
(2)f(1)＝，
a－＝，即2a2－3a－2＝0.
a＝2或a＝－(舍去)．
g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，
则g(t)＝t2－4t＋2.
t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，
h(x)≥h(1)＝，即t≥.
g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t[，＋∞)，
当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝log2(1＋)．
故当x＝log2(1＋)时，g(x)有最小值－2.
1．函数y＝ln(1－x)的定义域为()
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案B
解析∴0≤x<1.故选B.
2．已知函数f(x)＝则f(f(f(－1)))的值等于()
A．π2－1 B．π2＋1
C．π D．0
答案C
解析f(－1)＝π2＋1，f(f(f(－1)))＝f(f(π2＋1))＝f(0)＝π，选C.
3．若f(x)是偶函数，且当x[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()
A．(－1,0) B．(－∞，0)(1,2)
C．(1,2) D．(0,2)
答案D
解析根据函数的性质作出函数f(x)的图像．把函数f(x)的图像向右平移1个单位，得到函数f(x－1)的图像，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.
4．下列函数图像中，正确的是()
答案C
解析A中幂函数中a<0，而直线中截距a>1，不对应．B中幂函数中a＝，kN，而直线中截距a>1，不对应．D中对数函数中a>1，而直线中截距0
5．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(xR)的值域为[0，＋∞)，则f(1)的最小值为________．
答案4
解析依题意，a>0，且Δ＝4－4ac＝0，ac＝1，c>0.∴f(1)＝a＋c＋2≥2＋2＝4.当且仅当a＝c＝1时取等号．
6．已知f(x)＝|2－x2|，若当0
答案0
解析如图，依题意有0
7．已知函数f(x)＝为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)记集合E＝{y|y＝f(x)，x{－1,1,2}}，λ＝lg22＋lg2lg5＋lg5－，判断λ与E的关系；
(3)当x[，](m>0，n>0)时，若函数f(x)的值域为[2－3m,2－3n]，求实数m，n的值．
解析(1)f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)．
＝.
2(a＋1)x＝0，x∈R且x≠0，a＝－1.
(2)由(1)可知：f(x)＝，
当x＝±1时，f(x)＝0；当x＝2时，f(x)＝，
E＝{0，}．
λ＝lg22＋lg2lg5＋lg5－＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5－＝lg2＋lg5－＝lg10－＝，
λ∈E.
(3)∵f(x)＝＝1－，x[，]，f′(x)＝>0.
f(x)在[，]上单调递增．
∴
∴m，n为x2－3x＋1＝0的两个根．
又由题意可知：<，且m>0，n>0，m>n.
∴m＝，n＝.
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