1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的．请注意高考对函数图像的考查形式多样，命题形式主要有由函数的性质及解析式、选图；由函数的图像来研究函数的性质、图像的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．1．函数图像的三种变换(1)平移变换．y＝f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位，得到___________的图像；y＝f(x－b)(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像向_________个单位而得到；y＝f(x)的图像向下平移b(b>0)个单位，得到 的图像；y＝f(x)＋b(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像向 个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换．y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 对称；y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于对称；y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 对称；y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分_____________，其余部分不变而得到；y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)当x≥0时的图像，再作关于y轴的对称．(3)伸缩变换．y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标变为原来的倍，坐标 而得到．y＝af(x)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的坐标不变，坐标变为原来的倍．2．几个重要结论(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线______对称．(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图像关于直线对称．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图像与y＝|f(x)|的图像相同．(4)函数y＝f(1－x)的图像，可由y＝f(－x)的图像向左平移1个单位得到．答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是()答案D答案A4．设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图像可能是()答案C解析由解析式可知，当x＞b时，f(x)＞0，由此可以排除A，B选项．又当x≤b时，f(x)≤0，从而可以排除D.故本题选择C.5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．答案(0，＋∞)解析在同一直角坐标系中，画出函数y＝|x|和函数y＝－x＋a的图像，即可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a－x只有一个解．(2)第一步作y＝lgx的图像．第二步将y＝lgx的图像沿y轴对折后与原图像，同为y＝lg|x|的图像．第三步将y＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y＝lg|x－1|的图像第四步将y＝lg|x－1|的图像在x轴下方部分沿x轴向上翻折，得y＝|lg|x－1||的图像，如图(c)．探究1画函数图像的一般方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 作出下列函数的图像．(4)先作出y＝log2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图像，如图．【解析】函数图像过原点，所以D排除；当x>0开始时函数值是负数，而B项原点右侧开始时函数值为正数，所以B排除；当x<0时，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A排除；而C都满足，故选C.【答案】C【答案】A探究2对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． (1)(2015·河北石家庄调研)函数f(x)＝sinx·ln|x|的部分图像是()【答案】A【答案】C例3(1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于()A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称(2)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为______．【解析】(1)方法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称．即关于x＝1对称．故选D.方法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．(2)设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图像上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)．∴y＝－ln(x－1)，∴g(x)＝－ln(x－1)．【答案】(1)D(2)g(x)＝－ln(x－1)探究3(1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程．一般运用相关点求轨迹的方法．(2)下列结论需记住：①y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；②y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称；④y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于y＝x对称；⑤y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图像关于直线x＝m对称． (1)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图像关于下列哪个点成中心对称．()(2)求证：若函数f(x)满足对任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝a对称．【证明】设P(x0，y0)为函数y＝f(x)图像上任意一点．则P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点为Q(2a－x0，y0)．∵f(2a－x0)＝f[a＋(a－x0)]＝f[a－(a－x0)]＝f(x0)＝y0，∴点Q(2a－x0，y0)也在函数y＝f(x)的图像上．∴函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．(2)不等式log2(－x)＜x＋1的解集为________．【解析】设f(x)＝log2(－x)，g(x)＝x＋1.函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图像如图．由图像可知不等式log2(－x)＜x＋1的解集为{x|－1＜x＜0}．【答案】(－1,0)探究4函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题． 若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则实数a的取值范围是________．1．作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得．2．识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定．3．函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等.1．函数y＝lg|x－1|的图像大致为()答案B解析y＝lg|x－1|关于直线x＝1对称，排除A，D；因函数值可以为负值，故选B.2．当00时，其函数值y≥0；④y＝x·2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.思考题2题型三函数图像的对称性思考题3【答案】C题型四函数图像的应用思考题4高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第9课时函数的图像y＝f(x＋a)右平移by＝f(x)－b上平移by轴x轴原点折到x轴上方横纵不变横纵ax＝mx＝m题型一利用变换作图思考题1题型二知式选图或知图选式问题高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数课前自助餐
受人以渔
自助餐
题组层级快练
课前自助餐
(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意xR恒成立，则y＝f(x)的图像关于x＝对称．
(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图像关于x＝对称．
3．要得到函数y＝8·2－x的图像，只需将函数y＝x的图像()
A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位
C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位
解析y＝8·2－x＝2－x＋3，y＝x＝2－x，故选A.
授人以渔
例1作出下列函数的图像．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝|lg|x－1||.
【解析】(1)f(x)＝＝
当x≥0时，y＝＝1－，其图像可由y＝－的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位而得如图(a)．
又由于f(x)为奇函数，图像关于原点对称．
∴f(x)的图像如图(b)．
(1)y＝2x＋2；(2)y＝；
(3)y＝()|x|;(4)y＝|log2x－1|.
【解析】(1)将y＝2x的图像向左平移2个单位．图像如图．
(1)(2)
(2)因y＝1＋，先作出y＝的图像，将其图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝的图像，如图．
(3)作出y＝()x的图像，保留y＝()x的图像中x≥0的部分，加上y＝()x的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝()|x|的图像，如图实线部分．
(3)(4)
例2(1)(知式选图)(2015·河北冀州中学模拟)下图可能是下列哪个函数的图像()
A．y＝2x－x2－1
B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝
(2)(知图选式)(2015·广州执信、广雅、六中三校联考)函数y＝的图像大致是()
【解析】函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
令y＝0，得x＝1.
所以函数y＝只有一个零点．
当0
当x>1时，lnx>0，所以y＝>0.
结合图中四个选项，可知应选A.
【解析】f(－x)＝sin(－x)ln|－x|＝－sinxln|x|＝－f(x)，f(x)为奇函数，故C，D错；令f(x)＝0，则sinx＝0或ln|x|＝0，x＝kπ(kZ)或x＝±1，当x＝时，f(x)＝sin×ln||<0，选A.
(2)若函数f(x)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x·(x－)·(x－)
【解析】由图像知函数为奇函数，排除D，又f()＝0，排除A，在(0，)上先增后减，经检验′＝<0，f(x)在(0，)上为减函数，选C.
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(，0) D．(－，0)
【解析】f(2x＋1)是奇函数，所以图像关于原点成中心对称，而f(2x)的图像是由f(2x＋1)的图像向右平移个单位得到的，故关于(，0)成中心对称．
例4(1)若直线y＝x＋m和曲线y＝有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．
【解析】曲线y＝表示x2＋y2＝1的上半圆(包括端点)，如图．
要使y＝x＋m与曲线y＝有两个不同的交点，则直线只能在l1与l2之间变动，故此1≤m<.
【答案】1≤m<
【解析】如图，作出y＝x2－|x|＋a的图像，若要使y＝1与其有4个交点，则需满足a－<1
【答案】(1，)
自助餐
3．函数y＝的图像大致是()
|
|
