1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性．请注意关于对数的运算近两年新课标高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有选择题、填空题，又有解答题，且综合能力较高．1．对数(1)对数的定义．如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 .(2)对数恒等式．①alogaN＝(a>0且a≠1，N>0)．②logaab＝(a>0且a≠1，b∈R)．(3)对数运算法则．(a>0且a≠1，M>0，N>0)①loga(M·N)＝ .③logaMn＝ .2．对数函数(1)对数函数的概念．函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数．(2)对数函数的图像．(3)对数函数的性质．①定义域为x∈ ，值域为R.②恒过定点(1,0)．③a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上为 ；01，x>1时，logax0；当a>1,01时，logax0.1．(课本习题改编)化简下列各式．(1)log26－log23＝________；(2)lg5＋lg20＝________；(3)log35－log345＝________.答案(1)1(2)2(3)－22．对于a>0且a≠1，下列结论正确的是()①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①③ B．②④C．② D．①②④答案C解析若M＝N＝0，则logaM，logaN，logaM2，logaN2无意义，若logaM2＝logaN2，则M2＝N2，即|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．3．设y＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)，当a∈________时y为减函数；这时当x∈________时，y<0.答案(0,1)(－1，＋∞)4．(1)若loga31(2)00，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．【解析】原式＝|1－3|＋|lg3－2|＋lg300＝2＋2－lg3＋lg3＋2＝6.【答案】6【答案】15【讲评】遇到幂的乘积求值时，“取对数”也是一种有效的方法．(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．(3)由指数函数的性质：∵0<0.9<1，而5.1>0，∴0<0.95.1<1，即01，而0.9>0，∴5.10.9>1，即n>1.由对数函数的性质：∵0<0.9<1，而5.1>1，∴log0.95.1<0.即p<0.综上，pb>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>a>b【解析】a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，∵y＝log4x是单调递增函数，而3.2<3.6<12.96，∴a>c>b.故选B.【答案】B(2)若loga(π－3)a>1 B．ab>1 D．ba，∴选A.【答案】A例3(1)作出函数y＝log2|x＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由函数y＝log2x的图像经过怎样的变换而得到．【解析】作出函数y＝log2x的图像，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图像，再将图像向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图像(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)．【答案】略【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.loga2≥1，∴10，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数．∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数．因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3.【答案】(3，＋∞)指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置，搞清这部分基础知识相当重要．(1)搞清指数函数与对数函数的关系：即二者互为反函数，因此，图像关于直线y＝x对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的．即a＞1时都为增函数，0＜a＜1时都为减函数．(2)比较指数函数、对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型．具体做法是：①底数相同指数不同时，要考虑指数函数的单调性；②底、指数都不同时要借助于中间值(如0或1)再不行可考虑商值(或差值)比较法；③对数函数型数值间的大小关系，底相同者考虑对数函数的单调性，底不同时可考虑中间值(如0或1)，或用换底公式化为同底．最后可考虑比较法．答案B2．(2013·陕西文)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac答案B答案C4．(2013·新课标全国Ⅱ理)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.5．(2014·陕西)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.思考题2题型三对数函数的图像思考题3题型四综合应用思考题4答案logba高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数第二章函数与基本初等函数第7课时对数函数ab＝NlogaN＝bNblogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM1logaclogab(0，＋∞)增函数减函数><><题型一对数式的化简与求值思考题1题型二利用对数函数的性质比较大小高考调研第页新课标版·数学（文）·高三总复习第二章函数与基本初等函数课前自助餐
受人以渔
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题组层级快练
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②loga＝.
(4)换底公式．
logbN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0)．
推论：
logab·logba＝.logab·logbc＝.
③loganbn＝.④logambn＝.
logab
5．已知a＝21.2，b＝()－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()
A．c
C．b
解析a＝21.2，b＝()－0.8＝20.8，
21.2>20.8>1，a>b>1.又c＝2log52＝log54<1，
c
6．已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logax的图像，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为()
A．3,2，，
B．2,3，，
C．2,3，，
D．3,2，，
解析方法一：因为C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于1，又当x>1时，图像越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分别为2,3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x>1时，图像越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2,3，，.
方法二：可以画直线y＝1，看交点的位置自左向右，底数由小到大．
授人以渔
例1计算下列各式：
(1)；
(3)已知log23＝a,3b＝7，求log32的值．
【解析】(1)原式＝＝＝1.
＝(log33－log33)·log5(10－3－2)
＝(－1)log55＝－.
(3)由题意可知3b＝7，log37＝b.
log32＝log＝＝＝＝.
【答案】(1)1(2)－(3)
(1)|1＋lg0.001|＋＋lg6－lg0.02的值为________．
(2)5lg30·()lg＝________.
【解析】设x＝5lg30·()lg＝5(1＋lg3)·3lg2，
则lgx＝lg[5(1＋lg3)]＋lg3lg2＝(1＋lg3)·lg5＋lg2·lg3＝lg5＋lg3lg5＋lg2lg3＝lg5＋(lg5＋lg2)·lg3＝lg5＋lg3＝lg15.x＝15.
【解析】原式＝(log32＋log32)·(log23＋log23)＝log32·log2(3·3)＝·＝.
【答案】
例2比较下列各组数的大小：
(1)log23.4，log0.34；
(2)log67，log76；
(3)m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1；
(4)若0
【解析】(1)log0.34＝log20.34－1＝log2
(2)log67>log66＝1，log76
log67>log76.
(4)∵0
由对数函数的性质可知0logbb＝1.
loga＝＝－，loga<0，且|loga|>1.
又logb＝＝－logab，
logb<0，且|logb|<1.
logba>logab>logb>loga.
【答案】(1)log23.4>log0.34(2)log67>log76
(3)plogab>logb>loga
(2)当x(1,2)时，不等式(x－1)2
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1,2] D．(0，)
(2)已知函数f(x)＝()x－log2x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0
A．恒为负值 B．等于0
C．恒为正值 D．不大于0
【解析】作出y＝()x和y＝log2x的图像，如图．
由图可知有0log2x1.
即()x1－log2x1>0.f(x1)>0.选C.
例4已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
【解析】(1)由f(－1)＝－3，得log(4＋2a)＝－3.
所以4＋2a＝8，所以a＝2.
这时f(x)＝log(x2－4x＋3)，
由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.
故函数定义域为(－∞，1)(3，＋∞)．
令g(x)＝x2－4x＋3，
则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝logg(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.
因此即a无解．
所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数．
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1．(2015·四川内江一模)lg－8＝()
A.B．－
C．－ D．4
解析lg－8＝lg－8＝lg10－(23)＝－4＝－.
解析利用对数的换底公式进行验证，logab·logca＝·logca＝logcb，故选B.
3．log2sin＋log2cos的值为()
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析log2sin＋log2cos＝log2(sincos)＝log2(sin)＝log2＝－2，故选C.
答案
解析4a＝22a＝2，a＝.lgx＝，x＝.
6．若a>1，b>1，p＝，则ap＝________.
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