1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题．请注意函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于 对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝ ；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为 函数，函数f(x)＝ax－a－x为 函数；5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于 对称．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(2)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)即是奇函数又是偶函数．(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(6)若函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√答案D3．(2014·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析利用函数奇偶性的定义求解．A项，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B项，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C项，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D项，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))答案B解析∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图像上．答案3例1判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；(3)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；【解析】(3)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(4)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶(4)奇函数(5)奇函数(6)偶函数探究1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域) 判断下列函数的奇偶性．(3)方法一：f(x)的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)．当x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)．∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．方法二：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|.当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|.∴f(x)＝x2－2|x|.∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)．∴f(x)为偶函数．【答案】(1)奇函数(2)奇函数(3)偶函数例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为_______________________．(3)若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，有f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x＜0时，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.(3)∵f(x＋1)为偶函数，∴函数g(x)＝f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图像是由函数g(x)＝f(x＋1)的图像向右平移一个单位而得到，∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．探究2奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性． (1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)－π.即－π0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)>0 D．f(x)·f(－x)≤0答案D解析∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)f(x)＝－f2(x)≤0.2．下列函数中，不具有奇偶性的函数是()答案D3．(2015·衡水调研卷)函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)是()A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案B解析依题意，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(－x＋2)＝f(－x)．又f(2＋x)＝f(2－x)，因此有f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数；若f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)＝f(x)，得f(x)＝0，这与“f(x)不是常数函数”相矛盾，因此f(x)是偶函数但不是奇函数，选B.答案C答案⑤6．(2014·新课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析由题可知，当－20.f(x－1)的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1
受人以渔
自助餐
题组层级快练
课前自助餐
(2)函数f(x)＝＝(a>0且a≠1)为函数；
(3)函数f(x)＝loga为函数；
(4)函数f(x)＝loga(x＋)为函数．
(5)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝－1.
2．下列函数为偶函数的是()
A．y＝sinx B．y＝x3
C．y＝ex D．y＝ln
解析选项中的四个函数的定义域都是R.选项A，y＝sinx为奇函数．选项B，幂函数y＝x3也为奇函数．选项C，指数函数y＝ex为非奇非偶函数．选项D，根据函数奇偶性的定义可以判断为偶函数．令f(x)＝ln，得到f(－x)＝ln＝ln＝f(x)，所以选D.
5．(2015·山西四校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，且f(2)＝3，则f(2015)＝________.
解析f(x)＝－f(x＋)，
f(x＋3)＝f[(x＋)＋]＝－f(x＋)＝f(x)．
f(x)是以3为周期的周期函数．
则f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝3.
授人以渔
(5)f(x)＝；
(6)f(x)＝(x－1)，x(－1,1)．
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
由得
故f(x)的定义域为[－1,0)(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.从而有f(x)＝＝，这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(6)已知f(x)的定义域为(－1,1)，
其定义域关于原点对称．
f(x)＝(x－1)＝－，
f(－x)＝－＝f(x)．
即f(－x)＝f(x)，f(x)是偶函数．
请学生思考，本题中若将条件x(－1,1)去掉还是偶函数吗？(答：不是)
(1)f(x)＝ln；
(2)f(x)＝＋(a>0，且a≠1)；
(3)f(x)＝
【解析】(1)f(x)的定义域为(－2,2)，
f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，
函数f(x)为奇函数．
(2)∵f(x)的定义域为{x|xR，且x≠0}，
其定义域关于原点对称，并且有
f(－x)＝＋＝＋
＝＋＝－＋
＝－1＋＋
＝－(＋)＝－f(x)．
即f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
∴f(x)＝
(2)∵偶函数f(x)＝f(|x|)，f(2x－1)
【答案】(1)f(x)＝
(2)(，)(3)x＝1
(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
【解析】由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．故函数f(x)的周期为4.
∴x∈[5,7]时，f(x)＝
∴f(x)＝
【答案】f(x)＝
2．(1)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，则g(x)＝，h(x)＝.
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)周期T＝2a.
自助餐
A．y＝ex－e－x B．y＝lg
C．y＝cos2x D．y＝sinx＋cosx
4．f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(x)，当x(0,1)时，f(x)＝2x－2，则f(log6)的值等于()
A．－ B．－
C. D．－
解析f(log6)＝－f(－log6)＝－f(log26)
＝－f(log26－2)＝－(2log26－2－2)＝－(－2)＝.
5．下列判断中正确的是________．
f(x)＝()2是偶函数；
f(x)＝是奇函数；
y＝x0及y＝(x－1)0都是偶函数；
f(x)＝ln(－x)是非奇非偶函数；
f(x)＝＋是偶函数．
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