2.2.3对数函数的图象和性质
第1课时反函数及对数函数的概念
学习目标 重点难点 1．知道什么是反函数；
2．会求一些简单函数的反函数；
3．能记住对数函数的定义，会判断一个函数是否是对数函数；
4．知道互为反函数的两个函数图象间的关系. 重点：对数函数的定义，会求一些简单函数的反函数；
难点：互为反函数的两个函数图象的特点.
1．对数函数的概念
一般说来，把由对数运算确定的函数y＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数．
1
怎样判断一个函数是否是对数函数？
提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数．
例如y＝log5x(x＞0)是对数函数，而y＝log3(2x)(x＞0)以及y＝log2(x－1)、y＝2log2x等都不是对数函数．
2．指数函数与对数函数的关系
函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，这时，指数函数y＝ax的定义域R是对数函数y＝logax的值域，而指数函数y＝ax的值域(0，＋∞)，是对数函数y＝logax的定义域．
3．反函数
(1)反函数的求法
要求函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式．如果这种形式是唯一的确定的，就得到f(x)的反函数g(x)．
(2)互为反函数的两个函数的图象在同一坐标系内关于直线y＝x对称．
2
函数y＝x2是否具有反函数？
提示：在函数y＝x2中，将x与y换位得到x＝y2，解得y＝±，这种形式不是唯一的，故原函数没有反函数．
3
互为反函数的两个函数的单调性有何关系？
提示：两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减．
一、对数函数的概念
已知函数f(x)是对数函数，则对f(x)定义域内的任意自变量a，b，给出下列结论：①f(ab)＝f(a)f(b)；②f(a＋b)＝f(a)f(b)；③f(ab)＝f(a)＋f(b)；④f(a2)＝2f(a)；⑤f(0)＝1；⑥f(1)＝0.其中正确结论的序号是__________．
思路分析：根据f(x)是对数函数，设出其解析式，然后结合对数的运算法则逐一进行判断．
答案：③④⑥
解析：∵f(x)是对数函数，∴可设f(x)＝logdx(d＞0且d≠1)．
因此f(ab)＝logdab＝logda＋logdb＝f(a)＋f(b)，
f(a2)＝logda2＝2logda＝2f(a)．
f(1)＝logd1＝0.
故结论③④⑥正确，其余均错．
1．下列函数中是对数函数的是__________．
①y＝logx2，②y＝log8x，③y＝lnx，④y＝lg(x＋2)，⑤y＝log2x＋1.
答案：②③
2．若f(x)是对数函数，且f(3)＝－1，则f＝__________.
答案：2
解析：设f(x)＝logax，由f(3)＝－1得loga3＝－1，
∴a＝.
于是f＝＝2.
1．对数函数的定义同指数函数的定义一样，是形式化的定义，必须严格符合对数函数定义形式的函数才是对数函数．
2．研究对数函数的解析式时，要注意结合对数的运算法则进行推理与判断．
二、求函数的反函数
求下列函数的反函数：
(1)y＝log4x；(2)y＝x；(3)y＝2－5x；
(4)y＝log2(x－2)．
思路分析：按照求反函数的一般步骤：对换x与y，解出y，得到反函数．
解：(1)将x与y换位得x＝log4y，解得y＝4x，故反函数为g(x)＝4x；
(2)将x与y换位得x＝y，解得，故反函数为；
(3)将x与y换位得x＝2－5y，解得y＝－x，故反函数为g(x)＝－x；
(4)将x与y换位得x＝log2(y－2)，解得y＝2x＋2，故反函数为g(x)＝2x＋2.
求下列函数的反函数：
(1)y＝；(2)y＝32x＋6；(3)y＝log3x＋2.
解：(1)将x与y换位得x＝，解得y＝，故反函数是g(x)＝；
(2)将x与y换位得x＝32y＋6，解得y＝log3x－3，故反函数是g(x)＝log3x－3；
(3)将x与y换位得x＝log3y＋2，解得y＝3x－2，故反函数是g(x)＝3x－2.
1．求一个函数的反函数时，一般可按照如下步骤进行：
(1)将解析式中的x与y对换；
(2)将对换后的式子中的y解出来；
(3)得到反函数y＝g(x)．
2．并不是每一个函数都有反函数，若在解y的时候，y的结果不唯一，那么它就不具有反函数．
3．原函数是一个与指数函数或对数函数有关的函数时，需要充分利用指数式与对数式之间的关系求y.
三、利用原函数与反函数图象的对称性解题
若点A(1,2)既在函数f(x)＝的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a，b的值．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)点A(1,2)在函数f(x)＝的图象上；(2)点A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上．
解答本题先由A(1,2)在函数f(x)的反函数图象上得出A′(2,1)在f(x)的图象上，然后建立关于a，b的方程组求解．
解：依题意可得f(1)＝2，f(2)＝1，
∴解得
1．若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数上一定存在点()．
A．(0,1)B．(1,0)
C．(0,0)D．不能确定
答案：B
2．已知函数y＝ax＋b(a≠0)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝________.
答案：3
解析：由函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，
得a＋b＝4.①
反函数的图象过点(2,0)，
则原函数的图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2.②
联立①②，可得a＝3，b＝1.
利用原函数与其反函数图象间的对称性解题，可以避免求出原函数的反函数，化繁为简，达到事半功倍的效果．
1．若f(x)是对数函数，且f(16)＝4，则f(x)的解析式是()．
A．f(x)＝log2xB．f(x)＝log4x
C．f(x)＝log16xD．f(x)＝
答案：A
解析：设f(x)＝logax，则loga16＝4，故a＝2，选A．
2．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为()．
A．x＝2－yB．x＝y－2
C．y＝2－x(x∈R)D．y＝x－2(x∈R)
答案：D
解析：将x与y换位，得x＝y＋2，解得y＝x－2，
所以反函数为y＝x－2(x∈R)．
3．若f(x)是对数函数，则f(x)对其定义域中的自变量m，n，一定满足()．
A．f(m－n)＝f(m)－f(n)B．f(m)＋f＝0
C．f(n2)＝[f(n)]2D．f(n)＋f(－n)＝0
答案：B
解析：不妨设f(x)＝logax，则f(m)＋f＝logam＋loga＝logam－logam＝0，选B．
4．函数y＝ax＋m过定点(0,2)(a＞0，且a≠1)，那么其反函数必过定点()．
A．(1,0)B．(2,0)C．(0，m)D．(m,0)
答案：B
5．若函数y＝f(x)的图象和函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
答案：3x(x∈R)
解析：由两函数的图象关于直线y＝x对称，知y＝log3x(x＞0)与y＝f(x)互为反函数，所以f(x)＝3x，x∈R.
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