结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．在平面几何图形中考查向量运算的平行四边形法则及三角形法则．2．考查平面向量的几何意义及共线向量定理的应用．第1讲平面向量的概念及其线性运算抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练向量的有关概念向量的加法与减法向量的数乘运算及其几何意义共线向量定理考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】共线向量定理的应用平面向量的有关概念平面向量的线性运算选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题准确把握平面向量的概念和运算单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲1．向量的有关概念考点梳理2．向量的加法与减法考点梳理三角形b＋ɑ.ɑ＋(b＋c)平行四边形三角形考点梳理相同相反一个规律助学微博一个结论一个区别考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果CDDA12345【审题视点】解考向一平面向量的有关概念考向一平面向量的有关概念【方法锦囊】解考向一平面向量的有关概念【审题视点】【方法锦囊】【审题视点】考向二平面向量的线性运算解析【方法锦囊】解析考向二平面向量的线性运算考向三共线向量定理的应用(1)证明【审题视点】【方法锦囊】考向三共线向量定理的应用解【审题视点】【方法锦囊】方法优化6——准确把握平面向量的概念和运算揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】【反思】在高考结束后，了解到部分学生做错的主要原因是：题中的条件“|a＋b|＝|a|－|b|”在处理过程中误认为“|a＋b|＝|a－b|”，从而得到“a⊥b”这个错误的结论．揭秘3年高考一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234AAADA级基础演练单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题A级基础演练87三、解答题A级基础演练78一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12BCB级能力突破单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【例1】?给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
以概念为判断依据，或通过举反例(1)＝＝.
(3)＝＋＋＝－－＋＝－＝e1－e2.
?＝＝b，准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
0
思路2：
(排除法)选项A，若b＝－a，则等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，显然ab不成立；选项B，若ab且|a|＝|b|，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；
选项D，若b＝a，则|a|－|b|＝0，显然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
综上，A，B，D都不正确，故选C.
解析：
6.
如图，已知矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．
以概念为判断依据，或通过举反例．
【例2】?梯形ABCD中，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点．若＝e1，＝e2，用e1，e2表示，，.
【试一试】在OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝()．
A.B.C.D.
【训练2】在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，，，
又AM是ABC的边BC上的中线，DEBC，
2
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，
所以a＋b＝λ.
又因为a，b不共线，所以
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.相反
【训练3】若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.
【例3】设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【命题研究】通过近三年的高考试题分析，平面向量的概念和运算时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，命题的出发点主要是以平面图形为载体表达平面向量、借助向量表达相交或共线等问题．借助平面几何、解析几何等知识，考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件，或以向量为载体求参数的值．
根据选项逐个进行排除向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题不正确；正确．(2)利用共线向量定理列出方程组求k.
由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题不正确；
2．(2012·四平质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则ABM与ABC的面积比为()．
A.B.C.D.
【训练1】给出下列四个命题：
a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行．其中所有正确命题的序号是________．
结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算方向
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上.将模的运算转化为数量积的形式进行分析．
(数量积法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，
即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝－1.又因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝π，即a，b为方向相反的共线向量．故C正确．
4．(2011·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λR)，＝μ(μR)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()．
A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
由于零向量与任一向量都共线，所以命题中的b可能为零向量，从而不正确；(1)先证明，共线，再说明它们有一个公共点；
②正确．＝，||＝||且，
又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且||＝||，因此，＝.
∴＝＝(b－a)．
＝(a＋b)．
4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
共线向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．
(2)解
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
1．(2013·合肥检测)已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么()．A.＝B.＝2
C.＝3D．2＝
-1
7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量
∴有
1．解析因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C正确．
答案C
2．解析当n＝0时，k与m不共线，故选D.答案D
3．解析由题可知|AB|2＝22＋12＝5，因为AC2＝AD·AB，所以AD＝＝，＝＝(a－b)＝a－b.答案D
4．解析如图，＝＋＝＋＝－＋.
答案A
解析由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有：
k＝，λ＝－.答案－
综上所述，正确命题的序号是．
5．(12分)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．
解由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
方向
模
1
∴，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线．
①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
＝－＝b－a.
由ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)．
解＝－＝(－)＝(＋)＝，
＝－＝＋λ，
又＝，＋λ＝，
即λ＝，λ＝.
(1)解＋＝2，又2＝－，
＋＋＝－＋＝0.
8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
要使A，B，C三点共线，只需＝λ.
即－a＋b＝λtb－λa.
5．(201·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
4
△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
直角三角形
用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果．
(2)＝＋＝－＋＝＋－＝－＝e2－e1.1．(201·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的()．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心D．AB边的中点
方向
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
|λa|＝|λ||a|；
当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
(1)向量：既有大小，又有______的量叫向量；向量的大小叫做向量的________
(2)零向量：长度为_______的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于_________的向量．
(4)平行向量：方向相同或______的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且_____相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且_____相反的向量．
解(1)因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即，
又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
【示例】?(2012·浙江)设a，b是两个非零向量．()．
A.若|a＋b|＝|a|－|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
思路1：
一般解法：
优美解法：
2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()．
A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝0
3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为()．A.B.C.D.
向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．
1．若向量a与b不相等，则a与b一定()．
A．有不相等的模B．不共线
C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量
2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()．
A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线
3．(2012·全国)ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝()．
A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b
4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于()．
A．－＋B．－－C.－D.＋
5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.
∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)
3．若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则ABC的形状为________．
6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
由＝λ，||＝λ||.
又||＝|a|cosA＝|a|·＝，
||＝|b－a|，λ＝＝.故选C.
答案C
利用共线向量定理列出方程组求k.
由＝＝(a＋b)．假设ka＋b与a＋kb共线，
存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
又a，b是两不共线的非零向量，
k－λ＝λk－1＝0.k2－1＝0.k＝±1.
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.
向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a+(-b)=a-b
【例1】?给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
③正确．a＝b，a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当ab且方向相反时即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且ab不是a＝b的充要条件而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是.
解析由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.答案A
解析依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.
答案A
解析由O＋2O＝3O，得O－O＝2O－2O，即B＝2C，所以＝.故选A.答案A
解析若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案D
解析根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.
答案4
解析＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，
存在实数λ，使＝λ.
即p＝－1.答案－1
(2)＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，
＝2e1＋ke2，因为A，B，D共线，所以∥，
设＝λ，所以?k＝－8.
解析＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形．
答案直角三角形
解析O是BC的中点，
＝(＋)．
又＝m，＝n，＝＋.
M，O，N三点共线，＋＝1，则m＋n＝2.答案2
解析设AB的中点为M，则＋＝，＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．
答案B
解析设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为，选C.答案C
(2)证明显然＝(a＋b)．因为G是ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
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